04-第二章线性代数模型的回归分析方法

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1、2-线性代数模型的回归分析方法2.1概述对于许多具体问题，由于对过程的本质缺乏了解，或者由于过程本身太复杂，不可能准确地用机理模型描述该过程。为了建立这类过程的观测变量和自变量之间依存关系的数学表达式，常常可用多项式这一类函数去拟合实验数据，例如:yi=b°+b]Xj]+b2Xj2+b3Xj3+b]]Xj]+b22xj2+b33Xj3+b12Xj1Xj2+b13XjjXj3+b23Xj2Xj3+£j由于这类模型的建立纯粹是根据实验值和曲线（即模型计算值）拟合的好坏为评判准则的，所以常称为经验模型。这类模型的函数形式有一定的任意性，模型的参数bo、bl、b2、b3……等纯粹是数学上的常数，并没有

2、任何物理意义，一般也不用因次表示。此外，这类模型的应用仅限于实验数据覆盖的范围内，不能利用模型方程把结果外推到实验数据范围之外。所以，经验模型的应用常常是有局限性的。由于这类经验模型大多数是线性代数模型，或可化为线性代数模型。因此,模型参数值的估计和模型检验常常采用回归分析方法。所谓回归分析方法,就是利用统计方法，从大量实验数据中寻找观察变量与自变量之间的统计规律性。这类统计规律称为回归关系，有关回归关系的计算方法和理论统称回归分析。回归分析的研究内容是多方面的，本章主要讨论下述内容:1.对一组给定的实验数据，根据经验给出一个线性代数模型，确定变量与自变量之间的定量关系，即确定待定参数值;2.

3、对所建立方程的可信度进行统计检验;3.从影响某一观测变量的许多自变量中，判断哪些变量对观察变量的影响是显著的，哪些是不显著的;1.介绍一种建立“最优”回归方程的方法__逐步回归方法;2.利用所得的回归模型进行预测和控制；用回归分析方法建立数学模型的基本思想，是把一个过程看作一个“黑箱”。所谓“黑箱”就是该过程的输入和输出都是已知的，但它的内部机理不清楚。“黑箱”的输入就是一些自变量的因子小、X2、心、“黑箱”示意图知道过程内部机理,但观察变量总可以表示为因子心、X2、X3Xp的一个……xp,输出就是观察变量y。上述描述可用图2・1(右图)表示。虽然不能确切函数，即:y=f(xi>x2>X3、…

4、…xp)这里的自变量(又称独立变量)是指在实验手段控制下的那些变量，所谓独立是直在实验中可以独立调节和控制，而不是指函数关系间的独立概念。回归分析所研究的数学模型主要是线性代数模型，这里“线性”是指模型方程对待定参数是线性的，而对自变量本身却可以是非线性的。而模型主要有以下几种情况:1.模型对参数b是线性的，对自变量X是非线性的，如:y=b{)+b

5、X+b?x2•••+bpxpy=b()+b]X]+b2exp(x2)+b3lnx32.模型对自变量X是线性的，对参数b是非线性的，如:y二b()+b]X]+b2x2+(lnb1b2)x3y=b0exp(bJX]-b2exp(b3)x23.模型对自变

6、量x和参数b都是非线性的，如：y=b0exp(b]X[)+exp(b2x2)y=7b()4-b.x,+b2x2在本章中讨论的线性模型均是指对参数是线性的，对线性模型的通式可写为:y=bofo(xi>x2>X3.……xp)+bifi(x^x2^x3^……xp)+……+bpfp(x^x2>x3>……xp)(2-1)上式；是自变量，即实验条件是一些已知量。函数fi的具体形式也是已知量，所以以幻、X2、心……知)可根据实验点计算求得。由于观察变量y对参数E是线性的，所以观测变量y对各个参数6的一阶偏导数不再是参数E的函数，这就是线性代数模型的一个特点，在后面参数估计中充分利用了这个特点。在具体处理线性

7、代数模型时，总是把上述模型通式化简写作：y=bo+biXi+b2x2+(2-2)式中，y是观察变量(或称为因变量或响应量)，x是自变量(或称为独立变量),b是待定的回归系数(模型参数)。利用经验模型描述一个具体过程有一定的任意性。主要是表现在函数选择上的任意性。在最简单的一类情况中，例如通过实验测定某物质的摩尔热容CP(KJ/molK)与温度T(K)之间的关系。在所要求的温度范围内，测定不同温度Ti、T2、T3>……Tm下的Cp值CmCp2、Cp3、……CMo然后用一个多项式去拟合实验点。如选用：y=b°+b]T+b2T2+b3T3+(2-3)函数(2・3)并不能反映CP(KJ/molK)与温

8、度T(K)之间的本质关系，上述多项式函数形式仅是近似地逼近Cp〜T之间有的反映其本质机理的函数。这种函数近似逼近真实的函数形式并不是唯一的。多项式仅仅是一种拟合性能较个6阶多项式通过6个实验点的图象。经验告诉我们，由于实验测定存在误差，这样的曲线并不合理，曲线应该平滑地在实验点之间穿过。在无特殊的理论依据时，相邻的二个实验点之间不应该出现剧烈的振荡。所以，经常采用的方法是选择较低的多项式函数来拟合