2017-2018学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式举

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1、二数学归纳法证明不等式举例1.贝努利不等式如果/是实数，且q—1,占0,刀为大于1的自然数，那么有at迪土竺2.贝努利不等式的推广当指数刀推广到任意实数°时,⑴若0—l)；(2)若a>l或时,则(1+劝°21+a*x>—l).3.利用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，方法多种多样，其屮数学归纳法是常用的方法之一.在运用数学归纳法证明不等式时，难点是由n=k时命题成立推出n=k+1时命题成立这一步.为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行.利用数学归纳法证明不等式证明：2”+2

2、>/,/7GN*.验证刃=1,2,3时，不等式成立假设〃=碱立,推证n=/<+1n=k+成立，结论得证①当/7=1时,左边=21+2=4,右边=1,所以左边〉右边；当门=2吋，左边=22+2=6,右边=22=4,所以左边〉右边；当刀=3时，左边=2‘+2=10,右边=3?=9,所以左边〉右边.因此当刀=1,2,3时，不等式成立.②假设当n=k(k23且时，不等式成立.当n=k+l吋，2⑷+2=2・2k+2=2(2"+2)—2>2护一2=k+2W+1+护一2k—3=(Jc+2k+1)+(k+1)(A-3)(因心3,则—320,A+l>0)2#+2«+1=(斤+1)1所以2A

3、+,+2>a+l)2.故当n=k+l时，原不等式也成立.根据①②，原不等式对于任何心都成立.［方法■规律■小结］利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n=k到n=k+的变形.为满足题冃的要求，常常要采用“凑”的手段，一是凑出假设的形式，便于用假设；二是凑出结论的形式,再证明.//////^ftg^//////I1151.用数学归纳法证明：匚匚y+二j”>-(/?&2,刀丘")・证明：①当刀=2时，左边=

4、+

5、+4+

6、>

7、,不等式成立.②假设当n=klkA2,&WN*)时，不等式成立，1115即7+T+I+2+，**+評E当n=k+1时，一一+—一+…+丄+丄+丄+—i

8、一右丄+亠A+1+1丁k+1+2〒3&+1〒3斤+2丁3k+6丁3&+1丁3&+2”丄—丄>@+3丄—丄3&+3k+163A+3k~~)6・••当n=k+l时，不等式也成立.由①②知，原不等式对一切心2,用乂均成立.2.用数学归纳法证明：1+;^+;^£〈2—丄(z?22,z?eN*).23nnI513证明：①当n=2时，1+歹=孑2=矛不等式成立.②假设当刀=2(炉2,圧N*)时不等式成立，即1+*+*^*<2—^.汁L-£+—由①②知原不等式在/?e>r时均成立.1.设E=(l+0”，a=1+nx+nn~{x,z?eN*,(-1,试比较E与◎的大小，并加以证明.

9、解:①当刀=1,2时，P,t=&>.②当心3时(以下再对X进行分类).若(0,+8),显然有若%=0,则Pn=Qm若/三(―1,0),则A-fl=A0,所以A©I—Q=^x+%=a,3(4+az)<0,所以P&Q.假设PKQSW,则Pz=(1+力Pk<(1+x)Qk=Qk+xQk=+kx+kk~}2L+x+kxAkk_T=1+(A+1)%4kW+lkk'X即当n=k+1时，不等式成立.所以当心3,且%e(-l,0)时,Pg.归纳一猜想一证明2已知数列｛/｝满足<31=2，盼1・(1+禺)=1.(1)试计算$2，$3，0，念的值；(2)猜想

10、与右X(J)i(其屮心

11、)的大小关系，并证明你的猜想.先根据数列的首项和递推公式求11!z,禺，念的值，通过计算猜想不等式，再用数学归纳法给出证明.(2)由⑴得和1153⑴由已知计算得选祚,8132T丄=40,1而刀分别取1,2,3,4时,肓x(寸'分别为话洛375,1875故猜想丨cin+—an下面用数学归纳法证明以上猜想:①当刀=1时，已证.②假设n=k时（QI,AeN*）,如1_日人

12、由彳，弘+1=丁,31十禺得&>0.I2所以0〈弘+i=]+¥〈1，且所以0

13、2+G2+*=m，]1+^+11+越+11+禺+11+创1