计量经济学第5章

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1、1计量经济学第5章多元线性回归模型2多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。一般表现形式：i=1,2…,n其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数（regressioncoefficient）。习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。这样：模型中解释变量的数目为（k+1）5.1多元回归模型的形式与基本假定3也被称为总体回归函数的随机表达形式。它的非随机表达式为:方程表示：各变量X值固定时Y的平均响应。j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化

2、;或者说j给出了Xj的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。4总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为其中5样本回归函数：用来估计总体回归函数其随机表示式:ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项i的近似替代。样本回归函数的矩阵表达:或其中：6二、多元线性回归模型的基本假定假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性假设3，解释变量与随机项不相关假设4，随机项满足正态分布7上述假设的矩阵符号表示式：假设1，n(k+

3、1)矩阵X是非随机的，且X的秩为k+1，即X满秩。假设2，8假设4，向量服从多维正态分布，即假设3，E(X’)=0，即以上假定在纯数学的意义是保证估计参数有唯一的解，同时保证了良好的统计特征。在样本容量足够大时，中心极限定理，假设4是近似成立的。因此，假设4可以是不必要的。9注意：假设1的含义X的秩为K+1，即X列满秩，X的各列是线性无关的。10回忆：由线性代数可知如果一个矩阵没有逆矩阵，则被称为奇异矩阵，如果有则为非奇异矩阵（non-singular）对于n阶方阵A，A是非奇异矩阵的充要条件是A的行列式不等于0当且仅当矩阵满秩时，其行列式不等

4、于零证明：思考：如果X列线性相关，则矩阵就不存在。知识点：样本容量问题（1）必须保证最小样本容量。样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项），即n≥k+1，因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+1。（2）满足基本要求的样本容量。虽然当n≥k+1时可以得到参数估计量，但除了参数估计量质量不好外，一些建立模型必须的后续工作也无法进行。所以，一般经验认为，当n≥30或者至少n≥3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。1112与一元回归类似，我们只能得到样本，而不能得到总体，因此，建立的样本回归方程为5.3普通最小二乘估计（OSL）13

5、回顾：普通最小二乘估计是使得回归的残差平方和最小。5.3普通最小二乘估计（OSL）145.3普通最小二乘估计（OSL）上式中，利用了1×n、n×（K+1）、（K+1）×1=（1×1）是一个标量，它的转置矩阵不变，即15求偏导，得到则是使方程最小化的解。XX’是非奇异矩阵，故逆矩阵存在又因为其二阶条件16知识点：正定矩阵对于任意的非零向量c，令则除非v中的每一个元素为0，否则a为正的。但是，若v为0，则这与X中的向量线性无关的假设是矛盾的，故X满秩，则必有为正定矩阵。17销售量(千克)价格(元/千克)广告支出(元/千克)55100.557090.63

6、9080.7210070.79070.6310570.7358070.561106.50.71512560.7511560.691305.50.71513050.65设苹果销量不仅与的价格(元/千克)有关，而且与相应的广告支出有关。18设需求量Y关于价格X1和广告支出X2的线性回归模型。19故样本回归模型为205.4最小二乘估计量的统计特征（2）无偏性（1）线性性估计量是关于Y的线性组合。21（3）最小方差性。先求估计量的协方差矩阵在所有线性无偏估计量中，由最小二乘估计得到的具有最小的方差。225.4最小二乘估计量的统计特征基于以上的证明，我们知道

7、，最小二乘估计具有线性性无偏性有效性：在所有线性无偏估计量中具有最小方差性所以，最小二乘估计量为最佳线性无偏估计量（BLUE）。23随机误差项方差的无偏估计量为其中，n为样本容量，K+1为待估计参数的个数。（残差有n-k-1个自由度）由上文的推导可知随机误差项一般是不知道的，因此需要用残差e来估计，在多元回归中可以证明:5.5统计推断（为t检验准备）245.6变量的显著性检验（t检验）证明：OLS估计量的分布由于假定u服从正态分布，即，因此255.6变量的显著性检验（t检验）又因为贝塔估计值是关于Y的线性函数（线性性），所以贝塔估计值服从正态分布，

8、其均值和方差分别为26所以，27其中，n为样本容量，K+1为待估计参数的个数。（残差有n-k-1个自由度）以cii表示矩阵