求函数最值常见错误剖析(吴惠清)

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1、求函数最值常见错误剖析清远市第一中学吴惠清求函数最值时，极易忽视某些或明或暗的条件，导致解题错误,现例举剖析，以供求函数最值时作为借鉴与参考。1忽视正弦、余弦函数的有界性例1求函数y=-4sin2x+12sinx-7的最大值。错解y二-4sir?x+12sinx-7二-(2sinx-3)'+2W2/.y^x-2剖析该解法忽视了止弦函数y二sinx的有界性致错。事实上2sinx=3,即sin兀=—>1不可能。2正解y=-4sin2x+12sinx-7=-(2sinx-3)2+2sin%<1・••当sinx二1时,二12忽视换元时对新元的限制例2求函数y=兀+丁2兀一1

2、的最小值。错解令yj2x-l=t,贝Ijx=-(r2+1)2'7.・・y=-t2+r+-=-(r+l)2>0Avtin=0222V7剖析上面解法当t二T时，y=0,而由t=a/2x-1>0知t二T不可能，所以该解法错误，其忽视了换元时对新元t的限制范围。正解令如一二/,贝ijx=-(r2+l)(t20)1211/八2V=—t+/=—(Z+1)JtMOAt+1^1・：y=*('+1)2n*・••当t=o时心=£・说明：用换元法求函数的最值是常用方法，但切记换元时要限制新元的范围。3忽视相关变量的相互限制例3若sinx+siny=l,求T=sinx-cos-1

3、>'<1•：OWsinyW1・••当siny二*时，Tmin=-

4、；当siny=O或时，Tmax=04忽视公式成立的条件11（jr例4求函数）；=—sin2a++1Q

5、siny

6、

7、T=sin2y-siny=.iYsiny——2丿11错解1y=—sin2a++1(4sin2a>2J丄sin2a•—-——+1=2V4sin2a••Ymin-2•剖析这里忽视了应用基本不等式求最值时对等号成立条件的检验，事实上,当丄sin2a=——时，sin2a=2,这是不可能的，故解4sin2a题出错。错解2y=丄sin2a+4l］、2sin2a丿+—^+18sin2an丄x2」sin2a•1——+14V2sin8sin2a，返+丄+1=返+口48x148V215)min=+48剖析这里虽然注意到两处等号成立的条件满足sin2a的取值范围（0,1],但因两处等号成

8、立的条件不相同，故y取不到最小值刍+券，从而解题出错。+亠+1(1、—sin2a+4-x2Jsin2a•—*—+—-—+14Vsin2a4sin2a33、339—————24sin2a~24~4当且仅当sin2a=1时，两处等号同时成立,9?min=T・例5求y二+4+的最小值.J/+4错解右22,••Ymin-2・剖析上面解法屮，因为当且仅当77TZ二「^=时取等号，而J/+4此时x2=-3无实数解，同样犯了运用基本不等式求最值时等号不成立的错误，事实上,这题不能用基本不等式求解，否则，结果将是错误的，因此，这类题应多加注意。正解1设

9、t二+4,则te［2,+8］冃y二f(t)二t+1,在［2,+t00)上任取ti

10、・9例6求函数y=x+-的最值。X错解y=x+-^2L--=6,故函数有最小值6,无最大值。xVx剖析这里忽视了

11、基本不等式x+yM2历中x、y皆为正数条件。正解yW-6或y26,故函数既无最小值又无最大值。注意:运用基木不等式x+y$2亦不求函数最值时，只有同时满足下面三个条件才可求得：①x、y皆为正数；②当且仅当x=y时取等号；③“x+y”或“xy”其屮一个必为定值。同样，运用基本不等式x+y+z23嶺亦求函数最值时亦然。5忽视对一元二次方程二次项系数的讨论例7求函数y=的最值。2x2+4x4-3错解原函数化为2yx2+4yx+3y-5=0,・・•此关于y的方程有解/.A>0,即(4y)2-8y(3y-5)^0解之得0WyW5,故函数有最大值5,最小值0。剖析当)=0时