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《全国通用2019届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.7立体几何中的向量方法.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§8.7立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直基础知识自主学习回扣基础知识训练基础逶目——最新考纲考情考向分析1.理解直线的方向向量及平而的法向量.2•能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.利用空问向量证明空间中的位置关系是近几年高考重点考查的内容，涉及直线的方向向量，平面的法向量及空间直线、平面Z间位置关系的向量表示等内容.以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证题的形式出现.1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1
2、)直线的方向向量：在直线上任取一韭雯向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a,b是平面。内两不共线向量，刀为平面。的法n•a=0,向量，则求法向量的方程组为’An・b=0・2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线人和的方向向量分别为◎和内，则人〃厶(或人与重合)。匕〃陀.(2)设直线1的方向向量为V,与平而Q共面的两个不共线向量刃和比，则1//a或,UaO存在两个实数x,y,使v=xv+yv-i.(3)设直线/的方向向量为V,平面a的法向量为U,则1//a或/Ua^v_Lu.(4)设平面a和0的法向量分别为U,th,贝ljaH
3、〃他.3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线厶和Z的方向向量分别为口和盹，则厶丄1®V丄以＞刃・内=0.(2)设直线/的方向向量为V.平面a的法向量为u,则/丄a^v//u.(3)设平面a和0的法向量分别为弘和3,贝lj。丄005丄sOm•4=0.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“或“X”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.(X)(2)平面的单位法向量是唯一确定的.(X)(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.(V)(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.(V)(5)若a//b.则曰所在直线与b所在直线平行.(X)(
4、6)若空间向量曰平行于平面Q,则a所在直线与平面Q平行.(X)题组二教材改编2.[P104T2]设仏/分别是平面a,〃的法向量，“=(—2,2,5),当(3,—2,2)吋，a与B的位置关系为;当r=(4,-4,—10)吋，。与0的位置关系为•答案a丄0解析当孑=(3,-2,2)时，u・v=(—2,2,5)・(3,—2,2)=0今。丄0.当v=(4,—4,—10)时，v=—2u->aHB、3.[P111T3]如图所示，在正方体ABCD-A^Ga中，0是底面正方形加〃的中心，〃是〃〃的中点，•”是〃/的屮点，则直线0僦昇〃的位置关系是.答案垂直解析以力为原
5、点，分别以赢无,巫所在直线为y,?轴建立空间直角坐标系，如图所示.设正方体的棱长为1,则弭(0,0,0),(0,1,乔・页1,
6、•••別与加/垂直.题组三易错自纠1.已知水1,0,0),2/(0,1,0),6X0,0,1),则下列向量是平面法向量的是()A.(―1,1,1)B.(1,—1,1)仝_並_曲d坐並—回I3，3，3丿(3，3，3)答案C解析设n={x,y,z)为平ifijABC的法向量,n•AB=Q,[—x+y=0,则化简得「c•••尸尸2.故选C・••花=0,〔―卄"0,2.直线/的方向向量爲=(1,-3,5),平面。的法向量刀=(一1,3
7、,-5),则有()A.1//aB.1丄。C./与a斜交D.IUa或/〃a答案B解析由a=—n知，刀〃曰，则有/丄a,故选B.3.己知平面a,0的法向量分别为771=(2,3,5),忌=(一3,1,—4),则()A.a//pB.”丄0C.。，0相交但不垂直D.以上均不对答案C解析TmH久忌，且巾・@=2X(—3)+3X1+5X(—4)=一23工0,/.a,0既不平行,也不垂直.题型分类深度剖析真题典鬆深度剖靳■点难点多绘探究题型一利用空间向量证明平行问题师生共研典例如图所示，平而M〃丄平面月仇"ABCD为正方形,△曲〃是直角三角形，且PA=AD=2,E,
8、F,6•分别是线段刊，PD,E的中点.求证：丹〃平面顾?•pB证明•••平面必〃丄平面ABCD.ABCD为正方形,△丹〃是直角三角形,APA=AD.:・AB,AP,初两两垂直，以力为坐标原点，AB,AD,护所在直线分别为x轴，y轴，z轴,建立如图所示的空间直角坐标系？k%,则水0,0,0),〃(2,0,0),Q(2,2,0),〃(0,2,0),尸(0,0,2),£(0,0,1),尸(0,1,1),G(l,2,0).・••励=(2,0,-2),尿(0,-1,0),FG=(l,1,-1),设~PB=sFE+tFG,即(2,0,—2)=s(0,—1,0)+才
9、(1,1,—1),解得s=£=2,:.~PB=2FE+2FG,7=2,/.*f—s=0,.—t
