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1、正定矩阵的性质及其应用姓名：学号：指导教师：摘要；矩阵是数学中的一个重要基本概念，是代数学中的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类特殊的矩阵，固然有它与其它矩阵不同的性质和应用。本文主要是给出了正定矩阵的若干等价条件，对正定矩阵的一些重要性质进行了归纳整合并给出部分性质的证明过程，最后给出了正定矩阵在不等式证明问题、多元函数极值问题、最优化的凸规划问题以及解线性方程组问题中的应用。关键词：矩阵；正定矩阵；性质；应用ThePropertiesofPositiveDefiniteMatrixandItsApplicationsAbstract:Matr
2、ixisoneoftheimportantbasicconceptsanditisoneofthemainresearchobjectinmath.Positivedefinitematrixisakindofspecialmatrix,nodoubtithasitspropertiesandapplicationsdifferentfromothermatrix.Thispaperstatessomeequivalentconditionsonhowtodetermineapositivedefinitematrix,integratessome
3、importantproperties,thenputsforwardseveralapplicationsofthepositivedefinitematricesoninequationproblems,multiplefunctionextremeproblems,theoptimizationofconvexprogrammingproblemandsolvinglinearequations.KeyWords:matrix;positivedefinitematrix;property;application1.引言矩阵理论是数学的一个重
4、要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具实用价值、应用广泛的数学理论。矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念，是代数学的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、数值分析等领域中都具有着广泛的应用。本文主要介绍正定矩阵的等价定理及其一些重要的性质，最后给出正定矩阵在数学及其它学科中的若干应用。2.正定矩阵的等价定理首先我们给出正定矩阵的定义。定义1[1]设为一个实二次型，若对任意一组不全为零的实数，都有,则称为正定二次型。正定二次型对应的矩阵称为正定矩阵。11必须指出的是，只有实对称矩阵才有正定与负定之说，所以判
5、定一个矩阵是否正定时，首先判定该矩阵是否为实对称矩阵。而对于实对称矩阵正定性的判定，除利用定义外还可以运用一些等价定理。下面我们就给出实对称矩阵正定的若干等价条件。定理1设是阶实对称矩阵，则下列命题等价：（1）是正定矩阵；（2）的所有特征值都大于零；（3）存在正定矩阵，使得；（4）合同于阶单位矩阵；（5）的所有主子式都大于零；（6）的所有主子矩阵都是正定矩阵；（7）的所有顺序主子式都大于零；（8）对任意实矩阵,如果的秩为，都有为正定矩阵；（9）对任意可逆矩阵,为正定矩阵；（10）设,则和都正定；（11）存在可逆矩阵，使得.这些等价条件我们可以通过循
6、环证明得出，在判定矩阵正定性时，使用何种方法，要视情况灵活运用。另外，运用这些条件我们还可以得出正定矩阵的一些重要性质。3.正定矩阵的若干性质性质1若是正定矩阵，则，,,(是正整数)也是正定矩阵。性质2若和为同阶的正定矩阵，则,也是正定矩阵。性质3若=为阶正定矩阵，则（）.性质4若是正定矩阵，则的元素的绝对值最大者必是主对角元。性质5若是阶正定矩阵,则（）.证明设11，其中为阶顺序主子式，.因正定，则是正定的，于是,两边取行列式，得.()因为正定，则正定，≥0，，由()式得.同理，，其中为的阶顺序主子式。这样继续下去，可得.性质6若和都是阶实对称矩
7、阵，且是正定矩阵，则存在一个阶实可逆矩阵使得与同时为对角形。证明由于是正定矩阵，所以存在可逆阵，使得.①又由于仍为对称矩阵，所以存在正交矩阵,使得,②其中为的特征值。令，则为可逆矩阵，且,.性质7若和都是阶正定矩阵，则.11证明由性质6知，存在可逆矩阵，使得,③两边取行列式，得.④由①、②，得,⑤.⑥而，其中为正交阵，所以,且.又由于正定，故也正定，又知，所以.再由⑤、⑥两式有.两边消去，即证得.性质8若为阶正定矩阵，则存在上三角矩阵,使得.性质9若和都是阶正定矩阵，则也是阶正定矩阵。性质10设为实矩阵，若的秩为，则为正定矩阵。我们只给出了部分性质
8、的证明过程。这些性质如果能熟练掌握，并且可以巧妙运用，有些问题就可以迎刃而解了。下面我们就举例说明正定矩阵的一些性质在解决
