排列组合经典解法

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1、排列组合问题的经典解法一、重复排列“住店法”重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。【例1】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A.B.C.D.【解析】冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军。把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可住进任意一家“店”，每个客有8种可能，因此共有种不同的结果。选（A）。评述：类似问题较多。如：将8封信放入3个邮筒中，有多少种不同的结果？这时8封信是“客”，3个邮筒是“店”，故共有种结果。要注意这两个问题的区别。二、特色

2、元素“优先法”某个（或几个）元素要排在指定位置，可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。【例2】乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种。【解析】3名主力的位置确定在一、三、五位中选择，将他们优先安排，有种可能；然后从其余7名队员选2名安排在第二、四位置，有种排法。因此结果为=252种。三、相邻问题“捆绑法”把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，与其余普通元素全排列，是为“捆绑法”，又称为“大元素法”。不过要注意“大元素”内部还需要进

3、行排列。【例3】有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有____________种。【解析】将数学书与外文书分别捆在一起与其它3本书一起排，有种排法，再将3本数学书之间交换有种，2本外文书之间交换有种，故共有=1440种排法。【评述】这里需要说明的是，有一类问题是两个已知元素之间有固定间隔时，也用“捆绑法”解决。如：7个人排成一排，要求其中甲乙两人之间有且只有一人，问有多少种不同的排法？可将甲乙两人和中间所插一人“捆绑”在一起做“大元素”，但甲乙两人位置可对调，而且中间一人可从

4、其余5人中任取，故共有种排法。四、相间问题“插空法”元素不相邻问题，先安排好其他元素，然后将不相邻的元素按要求插入排好的元素之间的空位和两端即可。【例4】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）A.6B.12C.15D.30【解析】原来的5个节目中间和两端可看作分出6个空位。将两个新节目不相邻插入，相当于从6个位置中选2个让它们按顺序排列，故有种排法，选（D）。评述：本题中的原有5个节目不需要再排列，这一点要注意。请练习以下这道题：马路上有编号为1、2、3、···10的十

5、盏路灯，为节约用电又能照明，现准备把其中的三盏灯，但不能关掉相邻的两盏或三盏，两端的灯也不许关掉，求不同的关灯方式有多少种？可得结果为=20种。你能很快求解吗？五、分球问题“隔板法”计数问题中有一类“分球问题”，说的是将相同的球分到不同的盒中。【例5】将10个相同的球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，要求每个盒中至少一个球，问有多少种不同的放法？这时可以用“隔板法”解题。【解析】即将10个相同的球排成一排，中间看作有9个空，从中选出3个不同的空插入3个“隔板”，则每一种插法对应一种球的放法，因此共有=84种不同的放法。用“隔板法”可很快地解决以下问题。六、正难则反“排除

6、法”有些问题从正面考虑较为复杂而不易得出答案，这时，从反面入手考虑，往往会取得意想不到的效果。【例6】以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A.70个B.64个C.58个D.52个【解析】直接统计较繁，可从反面入手。从8个顶点中任取4个有种取法，而四点共面的情况有6个表面和6个对角面，因此结果为个，选（C）。七、先选后排“综合法”“先选后排”是解排列组合问题的一个重要原则。一般地，在排列组合综合问题中，我们总是先从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上。【例7】四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共_____种。【解析】先从

7、4个盒中选1个成为空盒有种。再把4个球分成3组每组至少1个，即分为2，1，1的三组，有种。最后将三组球放入三个盒中，进行全排列有种。因此，放法共有种。评述：本题涉及到了“分组问题”，这是组合中一种重要的题型，它有三种情况：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组。