补充材料空间向量在立体几何解题中的应用讲座(教师)

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1、戴氏教育簇桥校区空间向量在立体几何解题中的应用授课老师:唐老师空间向量在立体几何解题中的应用一、空间向量的基础知识1．空间向量的坐标运算(1)空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}(i，j，k按右手系排列)建立坐标系，坐标轴正方向与i，j，k方向相同．空间一点P的坐标的确定可以按如下方法：过P分别作三个坐标平面的平行平面(或垂直平面)，分别与坐标轴交于A、B、C三点，

2、x

3、=OA，

4、y

5、=OB，

6、z

7、=OC，当与i方向相同时，x>0，反之x<0．同理确定y、z．点P的坐标与坐标相同．(2)向量的直角坐标运算设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，

8、b2，b3)，则a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；a·b=a1b1+a2b2+a3b3，a∥bÛa1=lb1，a2=lb2，a3=lb3(lÎR)．或，a⊥bÛa1b1+a2b2+a3b3=0．(3)夹角和距离公式①夹角公式cos=．②距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则

9、

10、=．③定比分点公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则若M分为定比l(l≠-1)，则M的坐标为x=，y=，z=，28戴氏教育簇桥校区空间向量在立体几何解题中的应用授课老师:唐老师特别地，当

11、l=1即M为中点时得中点坐标公式：x=，y=，z=．由中点公式，可得以A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)为顶点的三角形重心公式：x=，y=，z=．2．平面法向量的概念和求法向量与平面垂直：如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面a，则称这个向量垂直于平面a，记作a⊥a．平面的法向量：如果a⊥a，那么向量a叫做平面a的法向量．一个平面的法向量有无数条，它们的方向相同或相反．一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题．推导平面法向量的方法如下：在选定的空间直角坐标系中，设平面a的法向量n

12、=(x，y，z)[或n=(x，y，1)或n=(x，1，z)，或n=(1，y，z)]，在平面a内任选定两个不共线的向量a，b．由n⊥a，得n·a=0且n·b=0，由此得到关于x，y的方程组，解此方程组即可得到n．zA1yxAC1BCD1B1D图1例1．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求平面A1C1D的法向量n和单位法向量n0．分析：建立空间直角坐标系，如图1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，得=(1，0，1)，=(0，1，1)．设平面A1C1D的法向量n=(x，y，1)．由n⊥面A1C1D，得n⊥，n⊥．有，得．∴n=(-1，-

13、1，1)，n0==．28戴氏教育簇桥校区空间向量在立体几何解题中的应用授课老师:唐老师二、空间向量在立体几何解题中的应用(一)空间角1．异面直线所成的角设点A，BÎ直线a，C，DÎ直线b，构造向量，．cos<，>=，<，>所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角．例2．在例1中，设AC∩BD=O，求异面直线D1O，DC1所成的角的余弦值．分析：=(，，-1)，=(0，1，1)．cos<，>=，∴异面直线D1O，DC1所成的角为arccos．2．线面所成的角jqanBA如图，AB为平面的斜线，n为平面a的法向量，如果与n之间所成的角j为锐角，则斜线AB与平

14、面a之间所成的角q=-j．即利用向量与n求出的是角j，实际上所求的角是q．若j为锐角，则q=-j，sinq=cosj；若j为钝角，则q=-(p-j)=j-，sinq=-cosj．总之有，sinq=

15、cos<，n>

16、=．28戴氏教育簇桥校区空间向量在立体几何解题中的应用授课老师:唐老师zxBA1yEFB1C1D1DCA图2例3.在例1中，设E、F分别为C1D1、B1C1的中点，(1)求证：E、F、B、D共面；(2)求A1D与平面EFBD所成的角．分析：(1)∵E(0，，1)，F(，1，1)，=(1，1，0)，=(，，0)，又=2，∴DB∥EF，故E、F、B、D共面．(2)

17、设平面EFBD的法向量n=(x，y，1)．得=(0，，1)，=(1，0，1)，∵n⊥面EFBD，得n⊥，n⊥．有，得，∴n=(2，-2，1)，∴sinq=，即q=．3．二面角的求法l二面角a—l—b，平面a的法向量m，平面b的法向量n．则二面角a—l—b的平面角q=．所以，cos=．若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，则为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个指向外时，则为二面角的平面角．28戴氏教育簇桥校区空间向