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《3.4（1）基本不等式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、基本不等式2002年在北京举行的第24届国际数学家大会会标思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？探究1ab问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积和是S’=———问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=————，问3：S与S’有什么样的关系？从图形中易得，s>s’,即探究1探究2问题1：s,S’有相等的情况吗？何时相等？图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有形的角度数的角度当a=b时a2+b2－2
2、ab =(a－b)2=0结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立此不等式称为重要不等式探究2问题2：当a,b为任意实数时，成立吗？类比联想推理论证（特别的）如果也可写成a＞0,b＞0,当且仅当a=b时“＝”号成立此不等式称为基本不等式探究3概念算术平均数几何平均数(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立。注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。探究：如何证明基本不等式当且仅当a=b时，等号成立。综
3、合法（执因索果）分析法（执果索因）课后探究：两种证明方法的优劣，如何来使用？在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式证法四：易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.这个圆的半径为显然，它大于或等于CD，即其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.几何意义是“半径不小于半弦”aboABPQ对基本不等式的几何意义作进一步探究:如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则PQ=
4、____,半径AO=_____几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长探究4已知都是正数，试探究：（1）如果积是定值P，和是否有最小值？若有，那么当时，最小值为：（2）如果和是定值S，积是否有最大值？若有，那么当时，最大值为探究5例1：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.强调：两个正变量积为定值，则和有最小
5、值，当且仅当两值相等时取最值。（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2（x+y）=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym2=18/2=9得xy81当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2强调：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。已知a,b都是正数，（1）若ab是定值P,则当a=b时,a+b有最小值；（2）若a+b是定值S,则当a=b时,ab有最大值；利用基本不等
6、式求最值（均值不等式定理）积一定，和有最小值；和一定，积有最大值。积一定，和有最小值；和一定，积有最大值。注意：一正二定三相等！应用基本不等式求最值的条件：a与b为正实数若等号成立，a与b必须能够相等一正二定三相等积定和最小和定积最大强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“＝”应用基本不等式求最值的条件：a与b为正实数若等号成立，a与b必须能够相等一正二定三相等积定和最小和定积最大强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“＝”例2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设
7、计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:由容积为4800m3,可得:3xy=4800因此xy=1600由基本不等式与不等式的性质,可得即当x=y,即x=y=40时,等号成立所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.练一练1.下列函数中最小值为4的是()2.设a>1，且m=loga(a2+1),n=log
8、a(a+1),p=log
