江苏专用2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何高考专题突破五高考中的解析几何问题第2课时定点定值问题教案含解析20190831132

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1、第2课时　定点、定值问题题型一　定点问题例1已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．(1)解　由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上．因此解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明　设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且

2、t

3、<2

4、，可得A，B的坐标分别为，，则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．将y＝kx＋m代入＋y2＝1，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1,2＝，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.而k1＋k2＝＋＝＋14＝.由题设知k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，解得k＝－.当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2

5、，－1)．思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．跟踪训练1已知焦距为2的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，直线y＝与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.①若直线l过原点且与坐标轴不重合，E是直线3x＋3y－2＝0上一点，且△EMN是以E为直

6、角顶点的等腰直角三角形，求k的值；②若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM，点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．(1)解　由题意可得2c＝2，即c＝，设Q，因为四边形ABPQ为平行四边形，PQ＝2n，AB＝a－n，所以2n＝a－n，n＝，则＋＝1，解得b2＝2，a2＝b2＋c2＝4，可得椭圆C的方程为＋＝1.(2)①解　将直线y＝kx(k≠0)代入椭圆方程，可得(1＋2k2)x2＝4，14解得x＝±，可设M，由E是3x＋3y－2＝0上一点，可设E，E到直线kx－y＝0的距离为d＝，因为△EM

7、N是以E为直角顶点的等腰直角三角形，所以OE⊥MN，OM＝d，即有＝－，①＝，②由①得m＝(k≠1)，代入②式，化简整理可得7k2－18k＋8＝0，解得k＝2或.②证明　由M(－2,0)，可得直线MN的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)，代入椭圆方程可得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，解得xN＝，yN＝k(xN＋2)＝，即N，设G(t,0)(t≠－2)，由题意可得D(2,4k)，A(2,0)，以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，可得AN⊥DG，即有·＝0，即为·(t－2，－4k)＝0，解得t＝0.故点G是定点，即为原点(0,0)．题型二　

8、定值问题14例2(2018·苏锡常镇模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的方程；(2)如图，过点D(，－)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．(1)解　由题意可知，椭圆＋＝1(a>b>0)，焦点在x轴上，2c＝2，c＝1，椭圆的离心率e＝＝，则a＝，b2＝a2－c2＝1，则椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)证明　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(，0)，由题意知直线PQ斜率存在，设其方程为y＝k(x－)－，则整理得(2k2＋1)x2－

9、(4k2＋4k)x＋4k2＋8k＋2＝0.所以x1,2＝，所以x1＋x2＝，x1x2＝，则y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k－2＝，则kAP＋kAQ＝＋＝.由y1x2＋y2x1＝[k(x1－)－]x2＋[k(x2－)－]x1＝2kx1x2－(k＋)(x1＋x2)＝－，kAP＋kAQ＝14＝＝1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1.思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简

10、、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依