典型相关分析[1]

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1、第十章典型相关分析一、实际背景一个随机变量X和一个随机变量Y之间的相关，用相关系数金表示一个随机变量Y和多个随机变量x、,X2,…，Xp相关，用复相关系数和偏相关系数表示多个随机变量X(,X2，.・.,X"与多个随机变量乙出，…出间的相关用典型相关系数来描述二、数学描述设有两组变量■X加X。■•X(—X屮2■•P2X,■■X“XL门」L"严"2」X⑴二"1X1约定Pi

2、X2cov(X)=pxp1:三、典型变量

3、(对)与典型相关系数的定义设有两组变量X⑴，X⑵，由待定系数m2tn=・生成线性组合：“"X⑴=幽+貯2+…+/肿必―収⑵+讥仪+…+变量u,v有如下数字特征var((7)=var(/TX(l))=I1var(X(l))/=/'V..Ivar(V)=var(/??TX⑵)=mTvar(X⑵)m=V„ni网2比叽cov((7y)=cov(/TX(,),/nTX⑵)=「「cov(X⑴，X⑵)加=广加二CC(UW)二广工12加"Jvar(〃)xJva「(V)』厂£jxJ加丁匚?加定义：第一对典型变量(SW)耍求：var(q)=l,var(Vj)=1,且使久牝=广》12加

4、达到最大；第二对典型变量(匕出)，要求：var(t/2)=var(V2)=1,cov([/2,t/,)=cov(匕咻心化口)=cov(V29V})=0且使几也达到最大一般地，第k对典型变量要求:var（4）=varO4）=h久«与〜k-1对魁则挪曲莹1均科联且辱遍宓kk各对典型变量间的最大相关系数如称为典型相关系数10.2总体典型变量和典型相关系数的生成一、已知匚，工22,工12求匕M，叽由定义，问题归纳为约束条件:厂工"i加T工22〃?i下，寻求/和弘使几必达到最人构造函数（p=q）（ljn•入U）求0的条件极值（最人）贻工/-阪X。給工/-〃工22心0(1)⑵

5、殊叫亠。/w-1=0用心⑴得：吃2〃?-川工丿=0(3)用加丁乂⑵得：加T工2丿-曲工22加"(4)由⑴得：久』工12加二久V由⑵得：U=mT》21/=Puv即：几=〃=Quv用工12工22」左乘⑵：工12工2辽2』-返12工22迄22加=（）（1）式代入上式得：工12工22迄2』-几2工」=（》2工2「工21-久2工」=（）用U左乘上式：（工H'Y12工22“工2厂小二0记息二UN工22「工21Pl^PlP

6、x/>2P2XP2P2XP有aS（5）即才是A的特征根（有“个），/是对应的特征向量。类似地，用匚工「左乘⑴得：S21Zll'1Z12，n-/lX21Zl

7、l'，Zll/l=0（2）式代入上式得：工21工1工12fn-屁工22皿V2=V=Z21Z111ZI2m-Z22W=（Z21Z11'1Z12~^2E22>=0用工J左乘上式：（工22*'为21工1「工12-/）m=0记B=^22_1Z21Zh_1Z12p^XlhPl^PlP1XAPlxP"

8、X“2有Bm=Arm（6）即/是B的特征根（有z个），加是对应的特征向量。由A和B的构成特点，它们的特征根有如下性质：①有相同的非零特征根②正特征根的个数为"（对B来说还有厂-戸个特征根为0）①正特征根的取值为0〜1,即＞o.••F取值为[0,1]结论：最人特征根晋对应的A和

9、B的特征向量由(5)式化「P••■,由(6)式7H⑴=法）■••生成的第一对典型变量(SM)/⑴L分」LP2J⑴匕二加⑴「X⑵这时Pum=人一般地，第i对典型变量：Uj=EX(')Vt.=zn(,)TX⑵p附=入总结：求解典型相关系数归纳为求特征根、特征向量到底要选取多少对典型变量对呢，这就要进行典型相关系数的显著性检验二、典型变量对的性质对于典型变量对：(以),©2,岭)…，(匕比)性质1:对于典型变量变量对中的第一变量5%...,比,,有coMU「Uj）=var（（/z）=10性质2：对于典型变量变量对中的第二变量冬,岭，…出，有cov（V；,V.）=var（

10、V）=10性质3：对于典型变量变量对中的第一变量u、u“…,J、第二变量cov((/PV.)Puyt=4010.3由样本数据阵生成（u-v；.）及Plj将两组变量X⑴,X⑵合为一组，有数据阵XI生成协差阵s二（Sij）wS产丄£（X血一X）（X“厂匚）n牛成相关阵/?标准差阵R=S.=応0■•足1心」1[0ESy=•••-丁$5+"2>("

11、*2)-生成纭产^22=S2R22S2E12=Si7?12S2E2I=S2R2yS}I生成a=£11-*e12z22-1e21«=V^.r'^,2J求A.2,/(,),m(0,(/=1,2••-Pj)XUi=l^X⑴V=“W

12、x⑵10.