专题9.1 例说换元法在初中数学中的应用-备战2018年中考数学一轮微专题突破（解析版）

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1、例说换元法在初中数学中的应用【专题综述】利用换元法解题，具有极大的灵活性。关键在于根据问题的结构特征，恰当地引入辅助未知数，达到以简驭繁，化难为易的目的。在具体应用时，换元的具体形式也是多种多样的。要在解题的实践中，不断摸索规律，积累经验，掌握有关的变换技巧，提高运用换元法解题的能力。【方法解读】下面举例说明换元法在初中数学中应用。一、用换元法分解因式例1把分解因式。本题如果把括号、合并同类项以后，会得到关于的四次式，分解起来比较困难。认真观察题目的结构，可以发，它们的二次项、一次项完全相同，这就具备了换元的条件，选用换元法进行降次处理，就使得分解变得简单易行。在设辅助未知数

2、时，方法比较灵活，如可设，或设等，一般地，设等于和的算术平均式比较简捷。解：设，则[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]原式===总结提示当在一个多项式中出现相同的部分时，一般可采用换元法来解决问题。二、换元法在解方程中作用[来源:学。科。网]掌握运用换元法解方程和方程组是初中数学的一个重点要求而在解高次方程、分式方程、无理方程时，要注意方程的特点创造运用换元法的条件往往会简化求解过程。例2解下列方程:①解原方程变形为。设，原方程形变为。解这个方程，得。[来源:Z+xx+k.Com][来源:Zxxk.Com][来源:Z*xx*k.Com]当时，,；当时，，。所以原方程有四

3、个根:，。②解析整理原方程得:。设，那么，原方程变为。解这个方程，得，当时，，根据算术根的定义，无解。当时，，两边平方，整理得。解这个方程，得。检验，把分别代入原方程都适合，因此，它们都是原方程的根。原方程的根是。三、证明题利用换元法十分简捷例3试证明关于的方程的根一个比大，一个比小。分析本题的一般证明方法是求出两个实数根，再证明有一根大于，另一根小于。认真观察题目的结构，可以变形为，可以实施换元。即要证一根比大，一根比小，可以转化为证明。本题还可以借助于函数思想，利用换元法得到十分简捷的证明。证法一设，原方程变形为①[来源:学#科#网Z#X#X#K]，方程①有两个不相等的实

4、数根。由根与系数的关系，得，即。原方程中一个根大于，一个小于。证法二设，即，把看作是关于的二次函数。[来源:学科网]当时，。的图象开口向，图象与轴的交点一个在的左边，一个在的右边，的根一个大于，一个小于。【强化训练】1.（2017江苏省扬州市）若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为．【答案】15．【解析】点睛：本题考查无理方程、换元法、正整数等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，属于中考填空题中的压轴题．考点：1．无理方程；2．换元法．2.在直角坐标系xOy中，已知点P(m，n)，m，n满足(m2＋1＋n2)(m2＋3＋n2)＝8，则OP的长为（）A.B.

5、1C.5D.或1【来源】2017-2018学年九年级数学人教版上册：第21章一元二次方程单元测试题【答案】B【解析】设t=m2+n2．则由原方程，得（1+t）（3+t）=8，整理得t2+4t-5=0，即（t+5）（t-1）=0，解得t=-5（舍去）或t=1．∵P（m，n），∴OP=m2+n2=1．故选B．3.已知方程组的解是，则方程组的解是_______．【答案】【解析】试题分析：若设，可以换元为；又∵，∴，解得.故答案为：4.为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=31

6、01﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是________．【来源】决胜2018中考压轴题全揭秘专题01实数问题【答案】【解析】试题解析：设M=1+5+52+53+…+52015，则5M=5+52+53+54…+52016，两式相减得：4M=52016﹣1，则M=．故答案为：．学//科.0网5．（2017安徽省，第19题，10分）【阅读理解】我们知道，，那么结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为，即.这样

7、，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为．【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为=，因此，=．【解决问题】根据以上发现，计算：的结果为．【来源】2年中考1年模拟第七篇专题复习篇专题33探索规律问题【答案】【规律探究】2n+1，，；【解决问题】1345．【解析】试题分析：【规律探究】将同一位置圆圈中