勾股定理几何原本中的证明

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1、勾股定理的证明【摘要】：《几何原本》（希腊语：Στοιχεῖα）是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，共13卷。这本著作是现代数学的基础，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍。本文主要应用证明三角形全等、证明平行线间的距离处处相等等，最终推导出勾股定理的证明。【引言】：勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，该定理首先由古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯（Pythagoras约前580-前500）提出并证明，后经古希腊数学家欧几里得（Euclid前3世纪）证明，并收录在现代数学的基础读本《几何原本

2、》中。而在中国早期也在例如《九章算术》之类的读本中探讨过该定理。本文引用《几何原本》中对毕达哥拉斯定里的证明，并对其整理延展最终之目的在于更深一步的去了解毕达哥拉斯定理和旷世奇书《几何原本》达到科学启蒙的功效。【关键词】：勾股定理证明【材料和方法】：已知：三角形ABC为直角三角形，且BC=a,AC=b,AB=c.求证：a²+b²=c²证明：如彩图所示，已直角三角形的三边a、b、c为边做三个正方形　　　（尺规作图）分别为CBFG、ACHK、ABED.连结CD、KB过点C作CN⊥DE于N交AB于M.

3、[求证：平行线间的距离处处相等]证明：在任意的两条平行线l、m间任取l上两点A、B向m上作垂线，垂足分别为C、D.(如下图所示）∵ＡＣ⊥ｍ，ＢＤ⊥ｍ　　　　　　∴ＡＣ∥ＢＤ　　　　　　又∵ｌ∥ｍ　　　　　　∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形　　　　　　∴ＡＣ=ＢＤ　　　　　　又∵ｌ、ｍ、ＡＢ、ＣＤ都是任意的　　　　　　∴平行线间的距离处处相等∵△ABK与正方形ACHK有相同的底AK,且△ABK的高等于AC（在平行线AK、BH间的距离处处相等已证)∴S正方形ACKH=2S△ABK又∵△ACD与矩形ADN

4、Ｍ有相同的底AD,且△ADC的高等于AM（在平行线AD、　　　　ＣＮ间的距离处处相等　已证）　　　　∴Ｓ矩形ＡＤＮＭ=２Ｓ△ＡＤＣ∵ＡＫ=ＡＣ,ＡＢ=ＢＡ,∠ＢＡＫ=∠ＣＡＤ　　　　∴△ＡＣＤ≌△ＡＢＫ（Ｓ．Ａ．Ｓ)　　　　∴Ｓ正方形ＡＣＨＫ=Ｓ矩形ＡＤＮＭ　　　　连结CE、AF∵△CEB与矩形NEBM有相同的底BE又∵△CEB的高等于NE(在平行线BE、CN　间的距离处处　相等已证）∴S矩形NEBM=2S△CEB∵△ABF与正方形CBFG有相同的底BF又∵△ABF的高等于BC（在平行线BF、C

5、G间距离处处相等已证）∴S正方形CBFG=2S△ABF∵BF=CB，AB=BE，∠CBE=∠ABF∴△CEB≌△ABF(S.A.S)∴S矩形NEBM=S正方形CBFG∴S正方形ADBE=S矩形ADNM+S矩形MNEB=S正方形ACKH+S正方形CBFG∴a²+b²=c²(Q.E.D)【结论】：直角三角形斜边长的平方等于两直角边长的平方和。