浅谈“构造法”解题

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1、浅谈“构造法”解题余国清一.构造函数解题例1・(1)在实数范围内W(x2-x+1)5-x5+4x2-8x+4=0o(2)解不等式x(l+Jx?+2)+(x+l)(l+J(x+1)2+2)〉0方程与不等式都是高次的，展开求解是不现实的。根据其自身特点，分别作适当的变形,然后构造函数，再利用函数的有关性质求解。(1)原方程变形为(x2-x+1)5+4(x2一x+i)=x'+4xo设函数f(t)=t5+4t,上述方程即为f(x2-x+l)=f(x)o由于f(t)在teR±是单调増函数，故若f(tj=f(t2),则必=t2成立。因此X2-x+1=X,即X=1,故原方程有唯一解

2、X=1o(2)设f(x)=x(l+7x2+2),xwR,易证f(x)在区间［0,+oo］上为增函数。0f(-x)=-x(l+a/x2+2)=-f(x),/.f(x)为奇函数,从而f(x)在区间(-00,4-00)上为增函数，.•.原不等式可化为f(x)+f(x+l)>0,即f(X+1)>-f(x)=f(-x),即I1X+1>一X,X>——O2点评：函数的单调性和奇偶性是函数的两个十分重要的性质，要熟练掌握函数的图象的几何特征和代数含义，它们在研究方程、不等式中经常用到。二.构造一元二次方程解题例2・已知AABC三内角A、B、C的大小成等差数列，fltanAtanC=2

3、+Q,求A、B、C的大小。由题知tanAtanC=2+,联想到tan(A+C)="nA+tanC,由a、B、C成等差1-tanAtanC数列，^B=-,A+C=—,tttanA+tanC=3+V3o33tanA>tanC是方程x?—(3+V^)x+2+侖=0的两根，得x】=1,x?=2+巧。当AC吋，tanC=l,得C=-,B=-,431243A5A=—71O12点评：由根与系数的关系來构造一元二次方程是授常见的思路，不町忽视。一.构造数列解题2例3.已知佃二氐九⑴才皿加十恥）,求满禺務中正整数n的取值范围。解析:f

4、n（X）=fn(0)-l=1二1-⑺⑼1+fn-l(0)的)+2=2[fn」(0)+2]1+fh(0)*fn(0)4-2*2S“(0)+2因此可知数列i揣m是以i需m冷为首项，以*为公比的等比数列。肛°)-1(丄严fn(0)+2142丿丄，Wn>3o所求n的取值范围是n>302n+19点评：有一些与数列有关的问题或看似无关的问题（变量为正整数的函数），通过巧妙地构造出一个数列，具问题的本质能更好地凸显出來，并能川数列的有关知识较简捷地解答。一.构造几何图形解题例4・试证：对任何a>（）,b>0,c>0,都有7a2-ab+b2+7b2-bc+c2>7a2+ac+c2,当

5、冇仅当丄=丄+丄时等号成立。bac观察题目特点，从Va2-ab+b2=Va2+b2-2abcos60°联想到余弦定理，可以构造三介形，同理，另两个根式也可构造三角形，利用几何图形进行证明。-R根据题意构造图形(如上图)，其中AB=a,BC=c,BD=b,ZABD=ZDBC=60°,由余弦定理得：AD=Va2+b2-ab,DC=7b2+c2-be,AC=7a2+c2+ac在AADC中，AD+DC>AC,贝ij7a2+b2-ab+7b2+c2-be>7a2+c2+ac0但第2页(共3页)当A、D、C三点共线时等号成立，此时，S^bc=SAAbd+Sacbd,即—acsin

6、120°=—absin60°+—bcsn60°。222ac=ab+be,即丄=—+—bac点评：本题若不构造一个三角形，而是运用三角知识解题，直接将两边平方，则无论是用综合法还是分析法，不仅计算过程十分复杂，而且很不容易说明。例5・设关于〃的方程V^cos+sin〃+a=0在区间(0,2兀)内有相异的两个实根Q、0。求实数a的取值范围。设x=cos&,y=sin0,则由题设知，直线1:+y+a=0与圆x?+y2=1有两个不同的交点A(cos<7,sina)和B(cos0,sin0)。即原点o到直线1的距离小于i,即d二]°+°+珀二回<1。J(问齢

7、22解得：—2va

8、v2。乂因为a、0w(O,2tt),直线1不过点(1,0),即V3+a^0o所以a工—>[?>,即aw(-2,-^3)kJ(―V3,2)点评：将代数问题构造平面图形后，用平面解析几何的有关知识解题，实际上是数形结合思想的灵活应用。