插值法与最小二乘拟合

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1、第4章插值法与最小二乘拟合14.1多项式插值设函数y=(x)在区间[a,b]上连续，给定n+1个不同点ax0

2、函数类P是代数多项式,即所谓的多项式插值.2从几何上看x0yy=p(x)a=x0x1x2x3xn=b•(xi,yi)y=f(x)研究问题：（1）满足插值条件的P(x)是否存在唯一？（2）若满足插值条件的P(x)存在，如何构造P(x)？（3）如何估计用P(x)近似替代f(x)产生的误差？曲线P(x)近似f(x)（4）P(x)是否收敛于f(x)？多项式插值,从几何上看就是要求过n+1个点(xk,yk)(k=0,1,…,n)的n次代数曲线y=Pn(x)作为(x)的近似.3用Pn表示所有次数不超过n的多项式函数类,若

3、Pn(x)Pn,则Pn(x)=a0+a1x+…+anxn则有其系数行列式为是由n+1个系数唯一确定的.若Pn(x)满足插值条件(4.2),4结论给定n+1个互异节点x0,x1,…,xn上的函数值y0,y1,…,yn,则满足插值条件(4.2)的n次插值多项式Pn(x)是存在且唯一的.4.1.2插值多项式的截断误差定理设(n)(x)在[a,b]连续,(n+1)(x)在(a,b)内存在,在节点ax0

4、a,b)且与x有关.分析：5Rn(x)=K(x)n+1(x)对于任一x[a,b],xxi(i=0,1,2,…,n),构造函数(t)=f(t)-Pn(t)-K(x)n+1(t)则有(xi)=0(i=0,1,2,…,n),(x)=0即,(t)在[a,b]至少有n+2个零点.0=(n+1)()=(n+1)()由Rolle定理可知(t)在[a,b]至少有n+1个零点,反复应用Rolle定理知(n+1)(t)在[a,b]至少有1个零点,-K(x)(n+1)!因而有所以证由于Rn(xi)=

5、(xi)-Pn(xi)=0(i=0,1,…,n),所以设于是6注意•余项表达式仅当存在时才能应用，且是唯一的。•在(a,b)内的具体位置通常不能给出。•若有,则截断误差限是•n次插值多项式对次数不高于n次的多项式完全精确。若f(x)为次数不高于n次的多项式,从而Rn(x)=0.则f(n+1)(ξ)=0,7x0yy=f(x)的几何意义一、线性插值与抛物线插值1、线性插值(n=1)设已知区间[xk,xk+1]端点处的函数y=L1(x)xkxk+1或L1(x)是两个线性函数的线性组合称为节点上线性插值基函数求线性插

6、值——过两点(xk,yk)与(xk+1,yk+1)的直线(4.8)4.1.3拉格朗日(Lagrange)插值线性函数值yk=f(xk)，yk+1=f(xk+1)，多项式L1(x)，使其满足8y10xkxk+1xy10xkxk+1xlk(x)lk+1(x)(4.8)节点上的线性插值基函数：满足-----过三点(xk-1,yk-1),(xk,yk)与(xk+1,yk+1)2、抛物插值法(n=2时的二次插值)设插值节点为：xk-1,xk,xk+1,求二次插值多项式L2(x)，使得L2(xj)=yj,j=k-1,k,k

7、+1.的几何意义基函数法先求插值基函数lk-1(x),lk(x),lk+1(x)——二次函数,且在节点的抛物线,满足：9y10xy10xy10xxk-1xkxk+1求lk-1(x):待定系数xk-1xkxk+1xk-1xkxk+1L2(xj)=yj,j=k-1,k,k+1.L2(x)=yk-1lk–1(x)+yklk(x)+yk+1lk+1(x)(4.10)值件插条再构造插值多项式L2(x)是三个二次函数的线性组合由103.n次拉格朗日插值11构造插值多项式的方法：(1)先求插值基函数，(2)构造插值多项式。于

8、是，所求的n次插值多项式为12若记n+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn),则lk(x)可写成若取(x)=xk(k=0,1,…,n),由插值多项式的唯一性有特别当k=0时,有Lagrange插值多项式简单而优雅,只要取定节点就可写出基函数,进而得到插值多项式.易于在计算机上实现.程序见P6713用二次插值计算ln11.25的近似值,并估计误差.例给定函数表x101112