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1、第1讲向量的概念与线性运算一、知识梳理1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有的量叫做向量.一表示向量的大小，用（2）表示方法：用有向线段来表示向量•有向线段的表示向量的方向.用字母俎，b,…或用AB,BC,…表示.特别提醒：1）模：向量的长度叫向量的模，记作I引或1^1.2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.3）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.4）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.5）相等的向量：长度相等且方向相同的向蚩叫相等的向量.2
2、「萌濮匪童（1）向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.BC=b,则向量AC叫做a如图，已知向量日，0,•在平面内任取一点A,作=与方的和，记作a+b,即a+b—AB+BC—AC特殊情况:(1)B(2)对于零向量与任一向量日，有$+0=0+a-a（2）法则：三角形法则,平行四边形法则（3）运算律：,（护方）（快c）.向量加法口诀:（2）.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.己知向量日、b,求作向量*.*（a-b）+b二日+（-〃）+b=a+O=a减法的三角形法则作法：在平面内取
3、一点0,作0A=a,OB-b,则BA-a-b即曰-〃可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1）為表示日-亦虽调：差向量“箭头”指向被•减数・2）用“相反向量”定义法作差向量，a-b=a^（-A）a//b//caa-b=a+(")a-b•Aa-b0BABz0>>BA（2）法则：_三角形法则a-a-bAA<■A」bBa-bi0向量减法口诀；（3）•实数与向量的积：（1）定义：实数久与向量日的积是一个向量，记作心，规定：
4、心
5、二
6、久
7、
8、a
9、.当人〉0时，人$的方向与$的方向相同；当人＜0时，人$的方向与$的方向
10、相反；当人二0时，久日与$平行.（2）运算律：久（〃4）二（久〃）日，（久+〃）干久計久（尹6）二久計久b.1特别提醒：■1）向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。2）重要定理：向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数久，使得ZfjAa,即人£（qHO）.■显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.1二、重难点问题释疑问题1:相等向量与平行向量的区别问题2:向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别问题3：对于两个向量平行的充要条件：问题4；向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向
11、两个要素：与起点无关：只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段三、重点考查题型［例1］判断下列各命题是否正确—>f—*f（1）零向量没有方向⑵若a=b,则d=b（3）单位向量都相等（4）向量就是有向线段（5）两相等向量若共起点，则终点也相同（6）若&二dh=c,贝n=c；（7）若云〃牙,bile,则a//c（8）若四边形ABCD是平行四边形，则AB=CD,BC=DA（9）a=b的充要条件是a=b且万〃5；［例2］化简
12、（乔一CD）-（AC-BD）［例3］在AABC所在的平面上有一点P,满足顾+丙+况=而，则APBC与MBC的面积之比是（）D.A.--32［例4］设云，石是不共线的向量，已知向量乔=2云+码,石二云+3石，而=2云-云若A,B,D三点共线，求k的值［例5］已知A、B、C、P为平而内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n,使西=mPA+nPB,Km+n=l.课后作业（一）基础巩固训练1.判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）共线向量一定在同一条直线上。()(2)所有的单位向量都相等。()―>
13、—>―>—>―>—>(3)向量a与b共线，b与c共线，则a与c共线。()TT(4)向暈Q与b共线，则a//b()TT(5)向量AB//CD,贝IJAB//CD。()(6)平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。（)解：（1）错。因为两个向量的方向相同或相反叫共线向量，而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上。（2）错。单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的意义。（3）错。注意到零向量与任意向量共线，当b＞为零向量时，它不成立。（想一想：你能举出反
14、例吗？又若bHO时，此结论成立吗？）（4）对。因共线向量又叫平行向量。（5）错。平行向量与平行直线是两个不同概念，AB、CD也可能是同一条直线上。（6）错。平行四边形两对边所在的向量也可能方向相反。1.（四川省成都市一诊）在四边形ABCD中，“亜=2匿”是“四边形ABCD为梯形”的A、充分不必要条件B.必要不充分条件
