线段和的最值问题

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1、中考专项-------------线段和的最小值问题东矿中学陈素丽教学目标知识与技能1.学会利用对称变换，平移变换，旋转变换解决线段和的最小问题。2.培养学生用运动，变化的观点看待几何图形，帮助学生形成自主的变换意识。过程与方法：1.理解三种数学类型中求线段和最小值的实质都是线段共线时的最小2.通过运用几何模型中求最值问题会转换思想和数形结合思想.情感与态度：1.通过设计“龙凤湿地跨线桥”问题的引入，激发学生的学习的兴趣和热爱家乡的美好情2.在“互助互动”的学习氛围中培养合作意识和学好数学的自信心教学重点教学重点：利用“两点之间线段最短”这一公理解决线段和最小值的问题教学难点：1.探索变换的

2、基础，捕捉题目中具备何种变换的基础信息。2.八“两折线”和“三折线”转直，求出线段和的最小值的问题。教学方式1.交互式教学方式与方法2.构建性教学方式3.归纳比较法4.创设情形法教学过程教师活动学生活动设计一.回忆课本原型（八年级(上)）如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？BAA,•理论依据：两点之间，线段最短•用途：求两条线段和的最小值应用：求两条线段和的最小值模型一：（两点同侧）：如图1点P在直线l上运动，画出一点P使PA+PB取最小值。AA模型二：（两点异侧）：如图2，点P在直线l上运动，画出一点P使PA+PB

3、取最小值。BPBB’P出题背景（载体）变式有：三角形、特殊四边形（菱形、矩形、正方形、梯形）、圆、坐标轴、抛物线等。解题思路：找点关于西安的对称点，实现“折”化“直【典型例题】例1.（“两定一动”）如图，在直角坐标系中，点A（3,4），B（0,2）Y，点p为x轴上一动点，求当PA+PB最小时点P的坐标。ABoxPB’类型“两点同侧”在x轴上确定一点p是PA+PB最小，因此先作B（A）关于x轴的对点B｀（A｀），连接AB｀与x轴的交点即为所求的点P。由B（0,2），所以B｀（0，-2），因为A（3,4），所以易求直线AB｀:y＝2x-2，所以点P(1,0)变式训练如图，MN是⊙O的直径，MN＝

4、2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为A弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为BNMOPB’【典型例题】例2.（“两动一定”）如图，在锐角△ABC中，AB，∠BAC=45°，4√2C∠BAC的平分线交于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，请你求出BM+MN的最小值。N’DMN’NBA解析：AD是角平分线，所以具有轴对称，先作N｀与N关于AD对称所以MN｀＝MN，要使BM+MN最小，即BM+MN＝BM+MN｀最小，所以当BM，N｀在一条直线上时最小，此时为BN｀的长度，而BN｀最小时即为BN｀与AC垂直时最小，易求得BM+MN的最小值为4【变式训练】练习1，如图，正方形

5、ABCD的边长为4，∠CDB的平分线DE交BC于点E，若点PQ分别是DE和DC上的动点，则PQ+PC的最小值（）CQA.2B.2√2C.4D.4√2DPEAB【变式训练】练习2.如图，∠AOB等于45°，P是∠AOB内一点，OP＝10，Q、R分别B是OB、OA上的动点，求△PQR周长的最小值。P’QPROAP’’【典型例题】例3.（“两动两定”）如图，直线l1、l2交于O，A、B是两直线间的两点，A’I1从点A出发，先到l1上一点P，再从P点到l2上一点Q，再回到B点，求P作P、Q两点，使AP+PQ+QB最小ABI2QOB’解析：由前面的知识积累可以得知：先作出点A′与A关于直线l1对称，则

6、PAPA=PA′，然后再作B′与B关于l2对称，则QB=QB′连接A′B′交l1，l2于点PQ，则AP+PQ+QB=PA′+PQ+QB′，当四点共线时AP+PQ+QB最小。【变式训练】1、如图1，等边△ABC的边长为6，AD是边BC上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上的一点，若AE=2，EM+CM的最小值为________2、如图2，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线ACY上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为________.AA’BDOCXB’1.⊙O的半径为2，点A，B，C在⊙O上，OA⊥OB,∠AOC=600，P是OB上一动点，PA+PC的最

7、小值为________。4．在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5，EC=7，点P是BD上的一动点，则PE+PC的最小值是               板书设计复习题问：•理论依据：两点之间，线段最短•用途：求两条线段和的最小值【典型例题】例1.（“两定一动”）例2.（“两动一定”）变式训练变式训练例3.（“两动两定”）变式训练