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《2018高考数学考点突破——计数原理、概率与统计：二项式定理+含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、二项式定理【考点梳理】1.二项式定理(1)二项式定理：(a+b)"=C》a"+C制％+…+C$a"T/+…+C也"(/?丘N*)；(2)通项公式：7>+2=(包=比，它表示第厂+1项;⑶二项式系数：二项展开式中各项的系数chc影…，U.2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即苗=刖增减性二项式系数e当时，是递增的当k>2(neN)时，是递减的二项式系数最大值当门为偶数时，中间的一项C孑取得最大值"一1卄1当门为奇数时，中间的两项C石与取最大值3.各二项式系数和(l)(
2、a+b)n展开式的各二项式系数和：霍+d+d+・・・+C；=X・(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即d+c^+d+・・・=d+d+f+・・・=2”—i・【考点突破】考点一、求展开式中的特定项或特定项的系数【例1］已知在纭-丄
3、L2眾)n的展开式中，第6项为常数项.⑴求n；⑵求含/的项的系数;(2)求展开式中所有的有理项.［解析］⑴通项公式为Tk+1—^nX3—/1*£X~3=Cn因为第6项为常数项，所以k=5时，-—;=0,K
4、Jn=10.⑵令10—2k3-=2,得k=2,故含x
5、2的项的系数是{10~2k⑶根据通项公式，由题意［oWkWlO,、kWN,令竺尹=厂(胆Z),3则10—2k=3r,k=5—刃V/cGN,Ar应为偶数.ArhT取2,0,-2,即k可取2,5,8,・••第3项，第6项与第9项为有理项，456345它们分别为IV,—1~，256^"2.【类题通法】1.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中〃和厂的隐含条件，即弘厂均为非负整数，且必几如常数项指数为零、
6、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.2.求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.【对点训练】1.(x+x+y)5的展开式中，2)，的系数为()A.10B.20C.30D.60［答案］C［解析］法一(x2+x+y)5=［(x2+x)+?q5,含y2的项为T3=cl(x2+x)3•/.其中(x2+x)3中含％5的项为C
7、x4•x=clx5・所以塔『的系数为C^=30・法二(x2+x+y)5表示5个x2+x+y之积.・・・Fy2可从其中5个因式中选两个因式取
8、“两个取F,—个取兀•因此的系数为CidC；=30.1.(2卄&)5的展开式屮，疋的系数是(用数字作答).［答案］10［解析］由(2兀+心)5得77+］=G(2x)i(&)J25_rC^5_t令5—彳=3得厂=4,此时系数为10.考点二、二项式系数的和与各项的系数和问题【例2】在(2x-3y)10的展开式中,求:⑴二项式系数的和；⑵各项系数的和；(1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(2)奇数项系数和与偶数项系数和；解设(2x-3y)10=aox10+aix9y+a2xsy2+•••+a1
9、0y10,(*)各项系数和为Qo+aiQio，奇数项系数和为aio，偶数项系数和为5+03+05+…+。9・由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.⑴二项式系数的和为C；o+C；o+・・・+C黑=2叫⑵令x=y=l,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.⑶奇数项的二项式系数和为C?o+Cio+-+Clg=29,偶数项的二项式系数和为Cjo+CL+-+C?o=29.(2)令x=y=l,得到ao+ar+025o=l，①令x=l,y=—1(或x=—1,y=l),得a。一。1+。2—巾0
10、10=5",②①+②得2(ao+a2Gio)—1+510,・•・奇数项系数和为匕学:①一②得2(°1+°3+…+。9)=1—5叫1-510・••偶数项系数和为【类题通法】1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如（处+〃）"、（a。+bx+c）m（a,bWR）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令兀=1即可；对形如（ax+b）y（d,bWR）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=l即可.2.若夬兀）=°0+。仏+。2兀2at1xn,则/（兀）展开式中各项系数之和为/（I
11、）,奇数项系数之和为6/0+02+04+•••=■,偶数项系数之和为a+偽+血+・・・=/⑴—八T）【对点训练】1.若二项式（3/—2"的展开式中各项系数的和是512,则展开式中的常数项为（）A.-27C1C.-9CqB.27C1D.9C9［答案］B（］、9［解析］令尸1得2"=512,所以n=9,故--J的展开式的通项为刀+1,令18—3厂=0得厂=6,所以常数项为=爲（3兀2）9-（一扑=（_1）©•39_rx,8_3rTz=（-1）6C9•33=
