大一数学论文

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1、摘要1关键词1Abstract1Keywords1弓丨言11.实二次型化简方法21・1配方法21・2初等变换法（合同变换法）31・3正交变换法（正交线性替换法）72.二次型化简在二次曲线上的应用112」通过合同变换来化简112.2通过正交变换来化简13参考文献15实二次型化简及其在解析几何中的应用学生姓名：贾玉明学号:20095031106数学与信息科学学院数学与应用数学指导教师:段光爽职称:助教摘要:二次型是高等代数的重要内容之一，本文全面概述了化二次型为标准型的方法及其在有关二次曲线的实际例题中的应用.关键词:二次型；标准型；二次曲线;应用

2、SimplificationofRealQuadraticFormanditsApplicationinAnalyticGeometryAbstract:Thesecondtypeisanimportantpartofhigheralgebra,thiscomprehensiveoverviewofthesecondtypeofapproachforthestandardandtheactualcurveinthesecondexampleoftheapplication.Keywords:quadraticform;standard;quad

3、raticcurve;application引言二次型是线性代数屮一个很重要的知识点.将实二次型化成标准型既是重点又是难点.我们知道，任何一个实二次型都唯一决定一个实对称矩阵，而实对称矩阵一定可以对角化.因此，每一个实二次型都可以化成标准型.二次型理论源于化二次曲线和二次曲面方程为标准形式的问题，故其理论在解析几何上有重要应用.1.实二次型化简方法在实二次型的化简屮，我们常常会用到一些常见的方法，如:配方法，初等变换法正交变换法等.以下详细介绍这些方法.1.1配方法⑴用配方法化•二次型为标准型的关键是消去交叉项，分如下两种情形.情形1如果二次型

4、/（西宀,…，暫）含某变量例如州的平方项而其系数如工0，则集中二次型中含為的所有交叉项，然后与斤配方，并作线性变换y严Ch兀］+巾+・・・+氐％『2=X2V■■、儿7得/昇+g（『2,…，儿），其中巩儿，…，儿）是力，…，）'“的二次型，对g®，…，儿）重复上述方法直到化二次型f为标准型为止.情形2如果二次型/（西,兀2,…暫）不含平方项，即给=0（心1,2,…丿），但含某一项知北0（/工J），贝I」先做可逆线性变换Xi=y（+兀

5、型.注意为了写出化二次型为标准形所用的可逆线性变换，对情形1小的线性变换应写岀它的逆变换（即用必表示岀旺），再将化简过程中每一步的线性变换进行复合，得到总的线性变换./(xpx2,x3)=x,2+3x1+2旺兀2+4%

6、%3+2x2x3・例1用配方法化下列二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换，用配方法冇解/=尤；+2x1(x2+2七)+3xf+2x2x3[xt+(x2+2x3)]2一(兀i+2x3)2+3xj+2x2x3)[=Xt+X2+2兀3〉‘2=兀2?3=兀3西=兀一力一2儿“吃=力，兀3=儿得W一衣一2力儿一yj=）彳一（儿+儿尸・

7、令M7旳7-？3，、儿=S所用的可逆线性变换为■1-1-「兀2=01-15_X3_001_^3-这里-11因为

8、C

9、=1HO,故0可逆.1・2初等变换法（合同变换法）（2]用可逆线性变换X=CY化二次型f=XAX为标准形，相当于对于对称矩阵A找一个可逆矩阵C,使CAC=D为对角矩阵，其中D的形式如下■•AD=0■<°丿由于可逆矩阵C可以写成若干初等矩阵A迟，…迟的乘积，即C=PXP2-PS,从而有Ps…PqRAP&.Ps二D,EP'P?…Ps=C・根据初等矩阵的冇关性质（用初等矩阵对力左乘或右乘，相当于对该矩阵做初等行变换或初等列变换），由上式

10、可得到用初等变换法化二次型为标准形的步骤.首先，写出二次型/的矩阵A,并构造2"矩阵・丿其次，对A进行同步的初等行变换和初等列变换，把A化成对角炬阵Q,并对E施行与A相同的初等列变换化为矩阵C,此时CAC=D.最后，写出可逆变换X=CYf化二次型为标准形f=YDY・例2用初等变换法把下列二次型经过非退化线性变换化成标准形，并写岀所作的非退化线性替换⑶./（X,，兀2,兀3）=XX^+曲兀3_3兀2兀3•解.f（X［，兀2,兀3）的矩阵是fo11224二丄0-E22丄上0U2用矩阵做同步的初等行变换和初等列变换，有/0121、2<1212、-1

11、(112、-113131300022222213(l)+(2)xl、1330r0(l)+(2)xl'-102222210010010001001011