复变函数小论文

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1、复变函数积分方法的教学思考数学与信息工程学院数学与应用数学专业王旭义1•引言复变函数是许多工科专业如自动化控制、交通工程、电了信息等必修的数学课程，学好复变函数可以为工科学生学习麻续专业课程打下良好的数学基础•但是，由于课程内容抽象琐碎,学生学习这门课程有一定难度，容易失去学习兴趣.鉴于此，教师在教学过程中，如何帮助学生寻找合适的“窍门”，降低学习难度，激发学习兴趣，对学生学好复变函数非常重耍•考虑到复变函数是高等数学的示续课程，学生对高等数学屮实变录的函数积分非常熟悉，而纵观复变函数整个课程的内容，积分理论在大部分章节

2、都占据了重要地位，并且它把许多经典内容如柯西一古萨定理、复合闭路定理、留数定理等有机地结合起来了，那么在复变函数的教学过程中，若把积分理论作为整个复变函数课程内容的一条线索，就会帮助学生理解得更加具体，从而提高学牛学习的兴趣.本文集屮讨论复变两数积分的常用理论和方法，并辅以适当的例题加深理解.根据积分路径的不同，复变函数积分大致可分为以下两类：沿非封闭曲线的积分和沿封闭曲线的积分.另外，本文还讨论了一个特殊情形的积分，即无穷限的广义积分.一、沿曲线C(非封闭)的积分f(z)dz当积分路径是非封闭的Illi线时，可以用参数

3、法和牛顿一莱布尼兹积分公式法.1.参数法路径是光滑的冇向曲线CH.可以表示成参数方程z=z(t),a

4、变函数的线积分，BP：f(z)dz=udx-vdy+ivdx+udy.例2.计算积分(x+yi)dz,其中C为抛物线y=2x,00,Re(z)>0内的圆弧

5、z

6、=l计算积

7、分dz的值.解：被积分函数在所给区域内处处解析，它的一个原两数为In(z+1)，贝IJ：dz=ln(z+1)

8、=[In(1+i)-ln2]=—ln2+i.二、沿封闭1111线C的积分f(z)dz1•参数法如果积分路径是光滑的封闭曲线C且有参数方程z=z(0),O<0<2ti,则曲线积分町以通过如下的公式计算：Cf(z)dz=f[z(0)]z'(9)d9例4.计算C,其中C为以z为中心，「为半径的正向圆圈，n为整数.解：将C的方程写作z=z+re,0<9<2tu,代入积分式得：C=d9=ed0=27ti,n=OO»n^O.

9、2•利用柯西一古萨基木定理积分法如果f(z)在单连通区域B内处处解析，C是B的一条封闭曲线，贝IJ：Cf(z)dz=O.例5.计算积分Cdz,C：

10、z

11、=2.解：因为f(z)=在圆周忆

12、=2内处处解析，所以积分结果为0.3.利用髙阶导数积分法如果f(z)是区域D上的解析函数，C是区域D内围绕z的一条正向简单封闭曲线，则：C=(n=l,2,...)例6.计算

13、z

14、=3dz解：

15、z

16、=3dz=(cos7iz)E4]

17、=-.4.利用级数积分法若f(z)在圆环域B内处处解析，C是B内的一条封闭曲线，将f(z)展开成洛朗级数，f(

18、z)=c(z-z),则:f(z)dz=c.例7.计算积分

19、z

20、=2dz解：f(z)二在1V

21、z

22、V+oo内解析，

23、z

24、=2在此区域内，则按洛朗级数展开有：f(z)=-=-(1+++...)(1+++...)=-1……，则C=-2,所以忆

25、=2dz=27ri-(-2)=-4ni.5.利用留数积分法设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z,z,z外处处解析，C是D内包含这些奇点的一条封闭曲线，则Cf(z)dz=2兀iRes[f(z),z].例&计算积分

26、z

27、=2解:被积函数f(z)=在区域

28、z

29、S2的奇点是・i与1,所以

30、

31、z

32、=2=2兀i{Rcs[f(z),-i]+Rcs[f(z),1]}=-.注意：若函数f(z)在封闭曲线内的奇点个数较多，曲线外的奇点个数较少，则根据f(z)在扩充复平面上的所有奇点(包括00)的留数的总和必为零这一结论可得：Cf(z)dz=・2兀iRes[f(z),oo](曲线外只有奇点8)或Cf(z)dz=-2n