算法的数值稳定性

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1、§5算法的数值稳定性通过前面对误差传播规律的分析，我们知道同一问题当选用不同的算法，它们所得到的结果有时会相差很大，这是因为运算中的舍入误差在运算过程中的传播常随算法而异。凡一种算法的计算结果受舍入误差的影响小者称它为数值稳定的算法。下面再通过其他一些例子来进一步说明算法稳定性的概念。这样算出的根x2(=0)显然是严重失真的（因为精确解x2=1，这说明直接利用求根公式求解例1中的方程是不稳定的。其原因在于计算机进行加、减运算时要对节舍入计算，实际上受到机器字长的限制，在计算-b是绝对值小的数被绝对值大的数(109)淹没了。在计算△时，4×109被[-(109+1)2]

2、淹没了，这些相对小的数被“淹没”后就无法发挥其应用的影响，由此带来的误差，造成计算结果的严重失真.当多个数在计算机中相加时，最好从其中绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相加，可使和的误差减小。kEk10.36787920.26424230.20727440.17090450.14548060.12712070.11010680.1187209-0.068480kEk200.0000000190.0500000180.5000000170.0527778160.0557190150.0590176140.0627322130.0669477120.0717733110.

3、0773523100.083877190.0916123通过以上这些例子，可以知道算法的数值稳定性对于数值计算的重要性了。如无足够的稳定性，将会导致计算的最终失败。为了防止误差传播，积累带来的危害，提高计算的稳定性，将前面分析所得的各种结果归纳起来，得到数值计算中应注意之点如下：（1）应选用数值稳定的计算方法，避开不稳定的算式。（2）注意简化计算步骤及公式，设法减少运算次数；选用运算次数少的算式，尤其是乘方幂次要低，乘法和加法的次数要少，以减少舍入误差的积累，同时也可节约计算机的机时。例如：要计算x255的值，如果逐项相乘要做254次乘法，但若改写成:x255=x·x

4、2·x4·x8·x16·x32·x64·x128则只要做14次乘法运算即可。又如前面引言中提到的用秦九韶算法计算多项式，也是一个改变计算公式以减少运算次数的极好例子。（3）应合理安排运算顺序，防止参与运算的数在数量级相差悬殊，大数“淹没”小数的现象发生。多个数相加时，最好从其中绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相加；多个数相乘时，最好从其中有效位数最多的数到有效位数最少的数依次相乘。（4）应避免两相近数相减，可用变换公式的方法来解决。（5）绝对值太小的数不宜作为除数，否则产生的误差过大，甚至会在计算机中造成“溢出错误”。