简单回归分析概要

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1、简单回归分析郝元涛2008.11.04第十二章引言：身高与体重存在相关（相关关系）可否通过身高预测体重的平均水平？新生儿的体重与体表面积存在相关可否通过体重预测体表面积？（依存关系）线性回归（linearregression），又称简单回归（simpleregression），非线性回归（nonlinearregression）第一节线性回归1、线性回归的概念及其统计描述在上一章中，对14名40~60岁的健康妇女的体重（X）与基础代谢（Y）数据计算了相关系数，定量地描述了变量X与Y间的线性关联性。现在试用回归分析的方法，从

2、预测的角度来描述基础代谢（Y）如何依存体重（X）的变化而变化的规律性。引例：线性回归模型（linearregressionmodel）：：截距（intercept）β：斜率（slope），又称回归系数（regressioncoefficient）样本线性回归方程(regressionequation)：图12-114例中老年健康妇女的基础代谢与体重的回归直线II型回归I型回归图12-2IgG浓度与沉淀环直径数据的散点图二、线性回归模型的适用条件(1)线性（Linear）(2)独立性（Independent）(3)正态性（N

3、ormaldistribution）(4)方差齐性（Equalvariance）LINE图12-3线性回归模型的适用条件示意图三、回归参数的估计(一)回归参数估计的最小二乘原则图12-4基础代谢与体重的回归直线的最小二乘原则的直观表达由于考虑到所有点的()有正有负，通常变成考察所有点的()平方和最小，这就是最小二乘原则（leastsquaresmethod）。(二)回归参数的估计方法例12-1计算例11-1的基础代谢（Y）关于体重（X）的线性回归方程。为了直观分析或实际需要，可按求出的回归方程作回归直线图。在X的实测全距范

4、围内，任取相距较远且易读数的两个X值，代入方程得到两个值，以直线连接两点即得回归直线。本例可取X1=37.1，得；取X2=67.3，得。连接点即得本资料的回归直线。注意：回归直线的适用范围一般以自变量的取值范围为限，若无充分理由证明超过自变量的取值范围还是直线，应该避免外延（即不要超过自变量取值范围计算值）。四、总体回归系数β的统计推断H0:β=0即基础代谢与体重之间无线性回归关系H1:β≠0即基础代谢与体重之间有线性回归关系α=0.05(一)方差分析图12-5回归前后因变量Y残差的示意图H0:β=0，H1:β≠0例12-

5、2试对例11-1资料的样本回归方程作假设检验（用方差分析）H0:β=0即基础代谢与体重之间无线性回归关系H1:β≠0即基础代谢与体重之间有线性回归关系α=0.05已知ν1=ν回=1，ν2=ν残=n－2=12，查F界值表（附表3.1）得=4.75，今求得F=158.361＞4.75，则P＜0.05，按α=0.05水准拒绝H0，差异有统计学意义。可认为体重与基础代谢之间有线性回归关系。(二)t检验例12-3试对例11-1资料的样本回归方程作假设检验（用t检验）。注意：对同一资料作总体回归系数β是否为零的假设检验，方差分析和t检

6、验是等价的，并且有的关系。上一章对总体相关系数的假设检验计算出的等于这里的，这并不是巧合。当Y与X两者都是随机变量时，我们既可以计算Y与X的相关系数，又可以做Y关于X的回归（II型回归）；对同一资料作总体相关系数的假设检验和作总体回归系数β的假设检验分别得到和，可以证明，二者相等。(三)总体回归系数β的置信区间(四)决定系数取值在0到1之间，且无单位。它反映了回归贡献的相对程度，即在因变量Y的总变异中回归关系所能解释的比例。在实际应用中，通过用决定系数来反映回归的实际效果。如例12-1，=0.930，说明40~60岁健康妇

7、女的体重信息大约可以解释自身基础代谢信息量的93%，还有剩余的7%的信息则通过体重以外的其它因素来解释。说明用体重来预测基础代谢量的实际效果较佳。第二节线性回归的应用统计预测；统计控制。统计预测：均数的置信区间：当X为某定值和在给定置信度的情况下，欲知Y的总体均数的分布如何？我们可以估计总体中当X为某定值时，Y的总体均数的置信区间。的（1-）置信区间为（12-15）（12-16）49.9991当X1=50.7时，Y的总体均数的95%置信区间为4220.7842.179×49.9991＝（4111.84，4329.73）图

8、12-6基础代谢依体重的回归直线的95%置信带与Y个体值的95%预测带统计预测（续）:个体的容许区间：预测是回归分析的重要应用之一，医学上常用在给定X值（预报因子）时，计算个体Y值的容许区间。所谓个体Y值的容许区间是指总体中X为某定值时，个体Y值的波动范围。(12-17)(12-18)仍然以第一观测点数