2020届高考数学一轮复习考点44空间向量及其运算和空间位置关系必刷题理（含解析）

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1、考点44空间向量及其运算和空间位置关系1．（河北省示范性高中2019届高三4月联考数学理）在四棱柱中，，且，平面，．（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）证明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，又∠BAD＝∠BCD，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝AC，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB，∴△AOD≌△COD，∴∠AOD＝∠COD＝90°，∴AC⊥BD，又因为平面，所以，又所以平面，因为平面，所以.（2）以，的交点为原点，过O作平行于的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（

2、1）及，知，，，，所以，，.设平面的法向量为，由，得，所以，令，得.设与平面所成的角为，则.2．（湖北省2019届高三4月份调研考试数学理）已知四棱锥中，底面，，，，.（1）当变化时，点到平面的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（2）当直线与平面所成的角为45°时，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）由，，知，则，由面，面得，由，，面，则面，则点到平面的距离为一个定值，.（2）由面，为在平面上的射影，则为直线与平面所成的角，则，所以.由，得，故直线、、两两垂直，因此，以点为坐标原点，以、、所在

3、的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得，，，于是，，设平面的法向量为，则，即，取，则，，于是；显然为平面的一个法向量，于是，分析知二面角的余弦值为.3．（内蒙古呼和浩特市2019年高三年级第二次质量普查调研考试）在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，，，，，为的中点.（1）平面平面（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：由题意知，四边形为矩形，所以，又∵四边形为菱形，为中点，所以，，，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以

4、平面平面（2）假设线段上存在点，使二面角的大小为，在上取一点，连接，.由于四边形是菱形，且，是的中点，可得.又四边形是矩形，平面平面，∴平面，所以建立如图所示的空间直角坐标系则，，，，则，，设平面的法向量为，则，∴，令，则，又平面的法向量，所以，解得，所以在线段上存在点，使二面角的大小为，此时.4．（新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试数学理）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，点，分别是和的中点.（Ⅰ）求证平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）如图，取的中点，连结，，则，.∴平面平面，∴

5、平面；（Ⅱ）以的中点为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，得，，，，得，.设平面的法向量为，则，得，同理可得平面的法向量为，∴，∴二面角的余弦值为.5．（河南省六市2019届高三第二次联考数学理）如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面，为中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：因为，，所以，又平面平面，且平面平面，所以平面.又平面，所以，因为为中点，且为等边三角形，所以.又，所以平面.（2）取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，因为平面平面，所以平面，所以，由

6、，，可知，所以.以中点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.所以，，，，，所以，，由（1）知，为平面的法向量，因为为的中点，所以，所以，设平面的法向量为，由，得，取，则.所以.因为二面角为钝角，所以，二面角的余弦值为.6．（天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考二理）如图所示，在多面体中，四边形为平行四边形，平面平面，，，，，,，点是棱上的动点.（Ⅰ）当时，求证平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角所成角的余弦值为，求线段的长.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）由已

7、知得且，则四边形为平行四边形四边形为平行四边形又平面，平面平面（Ⅱ）过点作交于点，过点作交于点平面平面，平面平面，平面平面以为原点建立如图的空间直角坐标系则，，，，，设平面的法向量为，，，即令，又直线与平面所成角的正弦值为（Ⅲ），设平面的法向量为，，，即，令，又可取平面的法向量解得7．（广东省湛江市2019年普通高考测试二理）三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，且为中点，如图.（1）求证：平面平面；（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）证明：是等腰直角三角形，为中点，平面平面平面平面（2）

8、平面为二面角的平面角，为等边三角形，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则设平面的法向量，则即取设与平面所成角为，则故平面所成角的正弦值为.8．（天津市部分区2019年高三质量调查试题二数