2020届高考数学第二篇导数在研究函数中的应用（第4课时）利用导数研究不等式恒成立求参数范围专题课时作业理新人教A版

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1、第4课时利用导数研究不等式恒成立求参数范围专题课时作业1．已知函数f(x)＝lnx－.若f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．解：∵f(x)＜x2，∴lnx－＜x2，又x＞0，∴a＞xlnx－x3，令g(x)＝xlnx－x3，则h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝－6x＝，∵当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0，∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴h(x)＜h(1)＝－2＜0，即g′(x)＜0.∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数，∴g(x)＜g(1)＝－1，∴当a≥－1时，f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立．2．设函数f

2、(x)＝ax2lnx＋b(x－1)，曲线y＝f(x)过点(e，e2－e＋1)，且在点(1,0)处的切线方程为y＝0.(1)求a，b的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)≥(x－1)2；(3)若当x≥1时，f(x)≥m(x－1)2恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)由题意可知，f(x)＝ax2lnx＋b(x－1)的定义域为{x

3、x＞0}，即x∈(0，＋∞)，f′(x)＝2axlnx＋ax＋b(x＞0)，∵f′(1)＝a＋b＝0，f(e)＝ae2＋b(e－1)＝a(e2－e＋1)＝e2－e＋1，∴a＝1，b＝－1.(2)f(x)＝x2lnx－x＋1，设g(x)＝

4、x2lnx＋x－x2(x≥1)，g′(x)＝2xlnx－x＋1，由[g′(x)]′＝2lnx＋1＞0，得g′(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g′(x)≥g′(1)＝0，∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝0.∴f(x)≥(x－1)2.(3)设h(x)＝x2lnx－x－m(x－1)2＋1(x≥1)，h′(x)＝2xlnx＋x－2m(x－1)－1，由(2)知x2lnx≥(x－1)2＋x－1＝x(x－1)，∴xlnx≥x－1，∴h′(x)≥3(x－1)－2m(x－1)＝(3－2m)(x－1)，①当3－2m≥0即m≤时，h′(x)≥0，∴h(x

5、)在[1，＋∞)上单调递增，∴h(x)≥h(1)＝0成立．②当3－2m＜0即m＞时，h′(x)＝2xlnx＋(1－2m)(x－1)，[h′(x)]′＝2lnx＋3－2m，令[h′(x)]′＝0，得x0＝e＞1，当x∈[1，x0)时，h′(x)单调递减，则h′(x)＜h′(1)＝0，∴h(x)在[1，x0)上单调递减，∴h(x)≤h(1)＝0，即h(x)≥0不成立．综上，m≤.3．(2019湖南十四校)已知函数f(x)＝ax3＋x2－x－3(a为实数)．(1)当f(x)与y＝－3切于A(x0，f(x0))，求a，x0的值；(2)设F(x)＝f′(x)·ex，如果

6、F(x)＞－1在(0，＋∞)上恒成立，求a的范围．解析：(1)f′(x)＝ax2＋x－1，由f(x)与y＝－3切于点A(x0，f(x0))，则解得a＝－，x0＝4.(2)F(x)＝(ax2＋x－1)·ex，∴F′(x)＝ex·(ax2＋(2a＋1)x)，且F(0)＝－1，①当a＝0时，F′(x)＝x·ex，可知F(x)在(0，＋∞)递增，此时F(x)＞－1成立；②当－＜a＜0时，F′(x)＝ex·ax(x＋)，可知F(x)在递增，在递减，此时F＝－e－＜－1，不符合条件；③当a＝－时，F′(x)＝ex·＜0恒成立，可知F(x)在(0，＋∞)递减，此时F(x)＜

7、－1成立，不符合条件；④当a＜－时，F′(x)＝ex·ax，可知F(x)在(0，＋∞)递减，此时F(x)＜－1成立，不符合条件；⑤当a＞0时，F′(x)＝ex·ax，可知F(x)在(0，＋∞)递增，此时F(x)＞－1成立．综上所述，a≥0.4．已知函数f(x)＝＋alnx(a≠0，a∈R)．(1)若a＝1，求函数f(x)的极值和单调区间；(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)＜0成立，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1，又f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＜0得0＜x＜1，由f

8、′(x)＞0得x＞1，所以当x＝1时，f(x)有极小值1，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(2)f′(x)＝－＋＝，且a≠0，令f′(x)＝0，得到x＝，若在区间(0，e]上存在一点x0，使得f(x0)＜0成立，即f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0.当＜0，即a＜0时，f′(x)＜0在(0，e]上恒成立，即f(x)在区间(0，e]上单调递减，故f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝＋alne＝＋a，由＋a＜0，得a＜－，即a∈.当＞0，即a＞0时，①若e≤，则f′(x)≤0对x∈(0，e]恒成立，所以f(x)在区间

9、(0，e]上单调递减，则f(x)在区间