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《2020版高考数学第十一章坐标系与参数方程第68讲坐标系课时达标理新人教A版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第68讲坐标系课时达标1.求椭圆+y2=1经过伸缩变换后的曲线方程.解析由得到代入+y2=1得+y′2=1,即x′2+y′2=1.因此椭圆+y2=1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2+y2=1.2.(2019·宝鸡中学期末)在以直角坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下,曲线C1的方程是ρ=1,将C1向上平移1个单位得到曲线C2.(1)求曲线C2的极坐标方程;(2)若曲线C1的切线交曲线C2于不同的两点M,N,切点为T,求
2、TM
3、·
4、TN
5、的取值范围.解析(1)因为ρ2=x2+y2,所以曲线C1的直角坐标方程为x2
6、+y2=1,所以曲线C2的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,又y=ρsinθ,所以ρ2-2ρsinθ=0,即曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ. (2)设T(x0,y0),y0∈(0,1],切线MN的倾斜角为θ,所以切线MN的参数方程为(t为参数).联立C2的直角坐标方程得t2+2(x0cosθ+y0sinθ-sinθ)t+1-2y0=0,即由直线参数方程中,t的几何意义可知,
7、TM
8、·
9、TN
10、=
11、1-2y0
12、,因为1-2y0∈[-1,1),所以
13、TM
14、·
15、TN
16、∈[0,1].3.(2018·江苏卷)在极坐标系中,直
17、线l的方程为ρsin=2,曲线C的方程为ρ=4cosθ,求直线l被曲线C截得的弦长.解析因为曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆.因为直线l的极坐标方程为ρsin=2,所以直线l过A(4,0),倾斜角为,所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B,则∠OAB=.如图,连接OB.因为OA为圆C的直径,所以∠OBA=,所以AB=4×cos=2.因此,直线l被曲线C截得的弦长为2.4.(2019·北京西城期中)在极坐标系中,曲线C的方程为ρ2=,点R.(1)以极点为坐标原点,极轴为
18、x轴的正半轴建立平面直角坐标系,求曲线C的直角坐标方程,点R的直角坐标;(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时点P的直角坐标.解析(1)由于x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,则曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程为+y2=1.点R的直角坐标为(2,2).(2)设P(cosθ,sinθ),根据题意,可令Q(2,sinθ),则
19、PQ
20、=2-cosθ,
21、QR
22、=2-sinθ,所以
23、PQ
24、+
25、QR
26、=4-2sin.当θ=时,(
27、PQ
28、+
29、QR
30、)m
31、in=2.所以矩形PQRS周长的最小值为4,且P.5.(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,=,求l的斜率.解析(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R). 设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方
32、程得ρ2+12ρcosα+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.
33、AB
34、=
35、ρ1-ρ2
36、==.由
37、AB
38、=得cos2α=,tanα=±.所以l的斜率为或-.6.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.解析(1)消去参数t得l1的普通
39、方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).设P(x,y),由题设得消去k得x2-y2=4(y≠0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).联立得cosθ-sinθ=2(cosθ+sinθ).故tanθ=-,从而cos2θ=,sin2θ=.代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.
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