弹性力学-05用变分法解平面问题

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1、第五章用变分法解平面问题要点：（1）弹性体形变势能、外力势能的计算（2）位移变分方程、最小势能原理（3）变分法的基本思想、位移变分法§5-4弹性体的形变势能和外力势能§5-5位移变分方程§5-6位移变分法§5-7位移变分法的例题主要内容1.形变势能的一般表达式Pll单向拉伸时外力所做的功：PlO由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，外力功全部转化杆件的形变势能（变形能）U：则单位体积中的形变势能，即形变势能密度（比能）U1为三向应力状态：一点的应力状态：xyz§5-4弹性体的形变势能和外力势能三向应力状态：xyz由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的

2、次序无关，只取决于最终的状态。假定所有的应力分量与应变分量全部同时按同样的比例增加到最后的大小，则单元体的比能：（a）整个弹性体的形变势能：（b）（c）（d）整个弹性体的形变势能：在平面问题中，弹性体的比能为：其中z方向取单位厚度。对于平面应力问题，利用物理方程可得只用形变分量表示的比能：（e）（f）最后，平面问题中弹性体的形变势能：（5-2）将式（f）分别对3个形变分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：（5-1）即，弹性体的比能对于任一形变分量的改变率，就等于相应的应力分量。再利用几何方程有：（平面应力）2.形变势能的位移分量表示外力包括体力和面力，若取位移为零的自然状态下外

3、力的势能为零，则与重力势能的定义类似，弹性体的外力势能定义为：（5-3）3.外力势能的一般表达式说明：由式（5-2）、（5-3）看到，对于位移分量u(x,y)、v(x,y)的每一组可取表达式，形变势能U、外力势能V都有一个确定的值与之对应，这种函数与量之间的对应关系叫泛函关系。其中u(x,y)、v(x,y)称自变函数，量U、V称依赖于自变函数的泛函，可记为U=U[u(x,y),v(x,y)]V=V[u(x,y),v(x,y)]简单地讲，泛函就是依赖于自变函数而变的量。1.虚功原理（虚位移原理）对于连续变形体的虚功原理：一个连续变形体处于平衡状态的充要条件是，外力在虚位移上所做的虚

4、功dW等于应力在虚应变上所做的虚功。（5-4）——虚功方程——称为虚位移或位移变分，为变形体位移微小的变化或扰动。满足两个条件：（1）为约束所允许；（2）任意微小的。——虚应变，为由虚位移引起的应变。变化后的位移状态：§5-5位移变分方程外力虚功＝内力虚功外力虚功：外力在虚位移上所做的虚功体力：面力：——外力内力虚功：应力在虚应变上所做的虚功由虚功原理，对于连续变形体（位移边界条件满足、几何方程成立），虚功方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。注意：虚功原理的应用并不局限于弹性体。即：虚功方程平衡微分方程应力边界条件（可互相导出）2.位移变分方程qP应力边界S位移边界Su设弹性

5、体在外力作用下，处于平衡状态。将U1视为应变分量的函数，则亦为(x,y)的复合函数。于是对于弹性体，由虚功方程推得：则内力虚功可写成:——满足：平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件。真实解（5-5）——位移变分方程当位移在真实位移状态处（即连续变形弹性体平衡状态处）发生虚位移时，所引起的形变势能的变分dU，等于外力虚功dW。表明：上式也可由能量守恒原理得到：因为在无温度改变、动能改变的情况下，弹性体形变势能的增加，应当等于外力势能的减少，也就等于外力虚功。位移边界条件位移变分方程这样，由求解真实位移u、v位移边界条件位移变分方程求解真实位移u、v真实位移应满足：位移边界条件

6、平衡微分方程（位移形式）应力边界条件（位移形式）比较后知：位移变分方程等价于位移形式的平衡微分方程和应力边界条件。位移变分方程平衡微分方程（位移形式）应力边界条件（位移形式）（可互相导出）另一方面，由前面的按位移求解弹性力学问题知：3.最小势能原理由位移变分方程：由于虚位移为微小的、为约束所允许的，所以，在虚位移发生过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。于是，有：代入前式，有（5-6）注意到：——外力势能其中：——形变势能与外力势能的总和，称为系统的总势能。表明：在满足位移边界条件的所有位移中，真实位移使弹性体的总势能P取驻值，即dP=0。——势能驻值原理平衡

7、状态：（1）稳定平衡状态；（2）不稳定平衡状态；（3）随遇平衡状态；稳定平衡不稳定平衡随遇平衡——势能取极小值——势能取极大值——不定——最小势能原理总势能P也是位移分量的泛函，即：P=P[u(x,y),v(x,y)]说明：（1）与稳定平衡状态相应的位移使总势能取极小值。——极小势能原理（2）对线性弹性体，在满足位移边界条件的所有位移中，真实位移使总势能P取最小值。至此，对按位移求解弹性力学平面问题，我们将原来“求偏微分方程的边值问题”转化为“求泛函的极值函数问题”，即：确定位移