【精品】层次分析法

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1、层次分析法决策问题：买东西选专业择业旅游等。要考虑的因素很多，各自的重要性、影响力或优先程度往往难以量化，人的主观选择会起重要作用，这就给一般的数学方法解决问题带来木质的困难。因此,T.L.Saaty等人在七十年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法——层次分析法（AHP）。它是一种定性和定量和结合的、系统化、层次化的分析方法。一、层次分析法的基本步骤：以选择旅游地为例。目的层准则层方案层选择旅游地的层次结构选择旅游地的思维进程可以整理成以下步骤：1.将决策问题分解为层次结构图。上层：目的层，下层：方案层，中间层：准则层。2.通过比较，确定各准则对耳

2、标的权重，及各方案对每一准则的权重（权重计算）。3.将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行结合，最终确定方案层对冃标层的权重。（综合计算）二、权重计算：1.成对比较矩阵：各因素之间进行比较，若放在一起比较，难以定量，且不易被人接受。层次分析法采用的方法：1°两两相互对比；2。采用相对尺度。1°如上例，5个准则对目标的重要性。每次取两个因索q和…用勺表示q和J对目标的影响之比，全部比较结果构成一个矩阵一一成对比较矩阵:14=（。"）〃呦，％・・>0，d..—久・IJ由A的特点：A也称为正互反矩阵。2°相对尺度：（比较尺度）Saaty等人提出，用1—9

3、尺度较合理。理由如下:（1）在进行成对比较吋，人们头脑中通常有5种明显的等级，用1-9尺度可以方便地表示如下：尺度含义1q与°的影响相同3q•比°的影响稍强5c,比s的影响强7c,•比s的影响明显地强9q比勺的影响绝对地强2,4,6,8q与勺的影响之比介于相邻等级之间1,*,•・・,#-与c,之比(与上相反)(2)心理学家认为，进行成对比较的因素太多，将超出人的判断能力，最多大致在7±2范围，如以9个为限，用1一9尺度表示它们之间的差别止合适。［每层因素超过9个时，可考虑进一步分层］。(3)有人通过对光亮的实例构造成对比较阵，与用物理学知识测得的实际结果非常

4、接近。1.成对比较阵的一致性检验：设某人用成对比较法得到的成对比较阵为［上例］1丄433221755"丄丄11147231121135113111_35」分析可得：q与5之比为1：2,q与C3之比为4：1,贝忆与C3之比应为8:1,而不是7:1,才能说明成对比较是一致的。每个结果都要求一致，太苛刻。通常是在不一致的情况下得结论，但有容许不一致的范围。一致的结论:设想把一块石头0砸成n块小石头C］,C2,…,，各自重量为T®，作成对比较时,令勺牛,0）、0）、显然一致。◎©©©,■■■,3©仙、各块小石头对大石头的权重可用向量⑵二©表示。■■若大石头为单位重

5、量，则工©=1，A的各列向量与69只差一个数量因子，人有如下性质：1°A的秩为1,唯一非零特征根为no2。A的任一列（行）向量都是对应丁特征根n的特征向量。［特征根，特征向量：Ax=Ax,则久称为特征根，X称为对应特征向量］。3——各因素对上层因素的权重，即权向量（归一化）。不一致的情况如下：Saaty等人建议用对应于A在最大特征根2的特征向量（归一化后）作为权向量血满足Aco=Aa）若知•离一致性的要求不远时，A的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大。——求权向量的特征根法。1.A的特征根的近似计算方法——和法（幕法、根法）a.将A的每一列向量归一化，得c

6、o.=-^―ob.对©•按行求和，得©=£©。戶1近似特征向量。d.久=丄£"砒最大特征根的近似值。,=iJ例A=-1211<64'0.60.615醫》0.30.308〔0.10.0770.545、0.3640.091丿‘1.760、0.972,0.268’归一化‘0.587、>0.324=0),0.089,门.769Aco=0.974(0.268丿=3.0091(1.7690.9740.268)113(0.5870.3240.089‘0.588、精确计算，得①二0.3222=3.010相差甚微。.090,1.一致性检验：一致性指标：CISn-1C/=

7、0时，4为一致阵，C7越人，不一致程度越严重。随机一致性指标：RI随机地构造正反互阵4：,计算每一川的C/,多次计算，求C/的平均值，得RJ。n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51一致性比率：CRCR0RI当CR

8、一致性检验。三、组合权向量（综合计算）前例给出了笫二