中学数学数形结合思想

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1、知识单元：数形结合思想【主干知识整合】1.数形结合思想•就是把问题的数量关系和图形结合起來考杳的思想方法，即根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究.数形结合思想.不仅是一种重要的解题方法•而且也是一种重要的思想方法，在高考中经常考查.2.数与形转换的三条途径：(1)通过坐标系的建立•引入数量化静为动•以动求解.(2)转化■通过分析数与式的结构特点•把间题转化到形的角度來考虑.如将xA匸可转化为勾股定理或平面上两点间的距离等.(3)构造■通过对数(式)与形特点的分析•联想相关知识构造图形或函数等.比如构

2、造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等.3.数形结合的主要解题方式：(1)数转化为形•即根据所给出的"数”的特点，构造符合条件的几何图形，用几何方法去解决.(2)形转化为数•即根据题目特点■用代数方法去研究几何问题.(3)数形结合，即用数研究形，用形研究数，相互结合，使问题变得简捷、直观.明了.【要点热点探究】探究点一：数形结合在解决方程、函数、不等式中地应用例1(1)(2010浙江理)设函数/(x)=4sin(2x+l)-x,ji!ij在下列区间中函数/(兀)不存在零点地是()(A)[-4,-2](B)[-2,0](C)[0,2](D)[2,4]⑵，已知实系数方程工2+

3、(加+1)工+加+”+1=0的两个实根分别为孙皿，且0＜孙＜1山2＞1.则丄的取值范m围是（）1).(_2♦_])【解析】（1）A问题可以转化为研究g（x）二sin（2x+l）和加兀）=］地交点.画图分析可估算g(-4)>/?(-4),g(-2)=sin(-3)>/?(-2)=因此当xw[-4,一2]时,g(兀)地图像总在力（兀）地图像上方，因此在该区间内,函数无零点.解答此题的关偲是要由根的分布将条件转化为m，"的关系式♦令/（工）=F+（/”+1）工+m+"+1♦则/（^）=0的两根分别満足0V工】V1■花＞1•即有为以上区域的动点（m,n）和原/(0)=+〃+1>0・u/

4、(I)=2〃2+〃+3VO・〃2点连线的斜率的范国（如图1一2—6）・【点评】本题（1）将函数地零点问题转化为两个函数图象地交点问题，画图观察交点情况时,要注意借助于计算，否则很难画出细微之处地情形，只有数与形地完美结合才能达到理想地效果•本题(2)通过对上地几何意义地理解,转化为求可行域内地动点与原点地连线地斜率,m较好地利用了数形结合法.【点评】探究点二：数形结合在求参数、代数式地取值范围、最值问题中地应用例2.(1)(2010湖北理数)若直线y二x+b与曲线y=3-V4x-x2有公共点，则b地取值范围是A.[-1,1+2a/^]B.[1-272,1+272]C.[1-2V

5、2,3]D.[1-V2,3]x+3^-3>0,⑵(2010浙江理数)若实数满足不等式组<2x-y-350,且兀+y地最大值为9,则实x-my+l>0,数m=()(A)-2(B)-1(C)1(D)2【解析1(1)C曲线方程可化简为(x-2)2+(y-3)2=4(l

6、)⑵C・2C“圉成地平面区域是“半开放”地’需要x-my+l>0“去封闭”•x+y—9由彳得点(4,5),直线兀—住y+l=0恒过定点(-1,0),Hil2x_y=3(4,5)点，所以，加=1・【点评】本题中地参数b及代数式兀+y都赋于了几何意义,那就是直线地“在y轴上地截距”，再结合图形，从而使问题得到解决•除了赋于“截距”地意义外,我们还经常将式子赋于“斜率”、“两点间地距离”等•请看下面变式题：【变式题】当R时，求函数/（攵）=4』+2力+2+4」一4工+8的最小值.图1—2—7【解答】从代数角度难以找到解题的途径■若把/、（工）稍作变形：f（工）=、/（力+1），+1+

7、、/（力一2）'+2’，可以观察到/Q）就是点P（工,0）到点A（—1,一1）、月（2,2）的距离之和•如图1—2—7,显然当P点与坐标原点重合时,/（叽=疗+后3松・即

8、A叭探究点三：数形结合在几何问题中地应用例3(2009广东卷理)(本小题满分14分)已知曲线C:y=x2与直线Z:x-y+2=O交于两点A(xA,yA)和B(xB,yR),且兀人