中考数学专题指导9：几何研究类问题

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1、中考数学专题指导第九讲几何研究类问题（一）考点解析：几何问题探究是新中考中命题的一大亮点，往往设计成一个小课题，以“链式”问题链的形式岀现，图形运动与证明的结合，常把点的运动、线段的运动与全等、相似的证明、特殊三角形的判定、特殊四边形的判定结合起来，挖掘变中之不变，将问题图形中的某个图形进行平移、翻折、旋转等运动，使其中某些元素或图形的结构产生了规律性的变化，针对这种规律性旳变化形式或特定的结论设计逐步递进的问题串来形成探究问题，由于涉及图形较复杂，关注知识点较多,各知识块之间的联系较为密切.让学牛在一定的情景中完成探究，先用类比，而后归纳悟出规律，

2、从特殊到得出一般规律，再到利用规律求解，使学生的才能得到充分的展示.（-）考点训练考点1:条件开放式问题【典型例题】：（2017H照）如图，己知BA二AE二DC,AD二EC,CE丄AE,垂足为E・（1）求证：ADCA^AEAC；（2）只需添加一个条件，即AD二BC（答案不唯一）,可使四边形ABCD为矩形•请加以证明.【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质.【分析】（1）由SSS证明△DCA仝ZXEAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出ZD二90。,即可得出结论.

3、DC=EA【解答】（1）证明：在AD

4、CA和AEAC中，jZAD=CE,Iac=caAADCA^AEAC（SSS）；（2）解：添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形；理由如下：TAB二DC,AD=BC,・・・四边形ABCD是平行四边形，•・・CE丄AE,AZE=90°,由（1）得：△DCA9AEAC,AZD=ZE=90°,・・・四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）.【变式训练】：（2017湖北咸宁）定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”・理解：（1）如图1,已知A、B是00上两点，请在圆

5、上找出满足条件的点C,使AABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图2,在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF二*CD,试判断AAEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3,在平面育•角坐标系xOy中，的半径为1,点Q是直线y二3上的一点，若在。0上存在一点P,使得AOPO为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写岀此时点P的坐标.【考点】MR：圆的综合题.【分析】(1)连结A0并且延长交圆于G，连结B0并且延长交圆于C2,即可求解;(2)设正方形的边长为4a,表示出DF二CF以及EC、B

6、E的长，然后根据勾股定理列式表示出AFEFAE2,再根据勾股定理逆定理貳定AAEF是育•角三角形，由直角三角形的性质可得AAEF为“智慧三角形”；(3)根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3,根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解.【解答】解：(1)如图1所示：(2)AAEF是否为“智慧三角形”,理由如下：设正方形的边长为4a,•・・E是DC的中点，/.

7、DE=CE=2a,VBC：FC=4：1,/.FC=a,BE=4a-a=3a,在RtAADE中,AE2=(4a)2+(2a)2=20a2,在RtZECF中，EF-(2a)2+a2=5a2,在RtZXABF中,AF2=(4a)2+(3a)2=25a2,AAE2+EF2=AF2,•••△AEF是直角三角形，•・•斜边AF上的中线等于AF的一半，•••△AEF为“智慧三角形”；(2)如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3,由勾股定

8、理可得PQ二佇-1狂2迈,由勾股定理可求得0M二JiJ故点p的坐标（-弓2,寺），（弓2,

9、）.EE1方法归纳总结：条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件.解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求.考点2：结论开放式问题【典型例题L（2017湖北咸宁）如图，在RtAABC中，BC二2,ZBAC二30°,斜边AE的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：①若C、0两点关于AB对称，则0A二2體；②C、0两点距离的最大值为4；③若AB平分C0,则AB

10、丄CO；jr④斜边AB的中点D运动路径的长为迈-；其中正确的是①②③（把你认为正确结论的序号都填上）.【考点