数值分析期末复习

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1、数值分析期末复习第二章插值法插值问题的提出：满足插值条件P(xi)=yi的简单函数P(x)为f(x)的插值函数。插值多项式-满足插值条件的插值多项式是存在唯一的。通过已知节点，插值多项式的求解。拉格朗日插值多项式及其余项牛顿插值多项式均差（差商），均差的性质及应用（对称性、n阶均差与导数的关系)，牛顿插值多项式的构造。第三章函数逼近的基本概念曲线拟合的最小二乘法已知一组实验数据，求它的拟合曲线。线性化建立法方程组求解未知变量给出拟合曲线函数第四章数值积分与数值微分数值积分的基本思想代数精度牛顿-科特斯公式等距离节点的求积公式n=1梯形公式代数精度为1n=2Simpson公式代数

2、精度为3n=4Cotes公式代数精度为5偶阶求积公式的代数精度第四章数值积分与数值微分复合求积公式复合梯形公式及其余项的误差估计n等分，n+1个点h=(b-a)/n复合辛普森公式及其余项的误差估计n等分,2n+1个点h=(b-a)/n高斯求积公式定义：求积公式具有2n+1次代数精度，则其节点为高斯点，相应公式为高斯型求积公式。第六章解线性方程组的迭代法Ax=bx=Bx+f雅克比迭代法与高斯-赛德尔迭代法A=D-L-U迭代法的求解公式，收敛条件TH7求解线性方程组迭代法收敛的充要条件TH8A为严格对角占优矩阵，则两种迭代法均收敛。谱半径越小收敛速度越快。SOR迭代法以及SOR迭

3、代法收敛的必要条件。第七章非线性方程与方程组的数值解法二分法、二分法二分的次数与预定精度之间的关系。不动点迭代法-什么情况下发散，什么情况下收敛。TH1不动点迭代的存在唯一性以及收敛的条件。TH2误差的估计局部收敛性与收敛阶简单迭代法-线性收敛牛顿迭代法、牛顿迭代法的收敛阶用于求单根时为线性收敛，用于求重根时为至少二阶收敛。简单迭代法的收敛阶是线性收敛。弦截法的收敛阶小于牛顿迭代法大于简单迭代法。第九章常微分方程初值问题数值解法欧拉法与后退欧拉法梯形方法改进欧拉公式局部截断误差（上述几种方法）与阶、局部截断误差主项龙格-库塔方法（泰勒展开式）单步法的收敛性--整体截断误差例1.在某化学反

4、应里,测得生成物浓度y%与时间t的数据如下，试建立y关于t的经验公式x=1,2,3,4,5,6y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50方案一：设baxxxPy+=)(求a和b使得线性化/*linearization*/：令，则bXaY+就是个线性问题将化为后易解a和b。),(iiYX),(iiyxX=1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6Y=1/4.00,1/6.40,1/8.00,1/8.80,1/9.22,1/9.50m=6法方程组为求解出a与b方案二：设xbeaxPy/)(-=(a>0,b>0)线性化：由可做变换xbay-lnlnbBaAxXyY-

5、====,ln,1,lnBXAY+就是个线性问题将化为后易解A和B),(iiYX),(iiyx例用复化Simpson公式计算积分的近似值，并估计误差。（n=5,共11个节点）解：n=5，h=(1-0)/n=0.2，节点列为则复化Simpson公式为010.20.40.60.80.10.30.50.70.9截断误差估计：用改进欧拉公式求方程的数值解（，步长，，xnyn0.11.09590.21.18410.31.26620.41.34340.51.4164在计算时,迭代终止的时间可以用上式判别例.判别下列方程组用J法和G-S法求解是否收敛解:(1)求Jacobi法的迭代矩阵所以即Jaobi

6、迭代法收敛(2)求Gauss-Seidel法的迭代矩阵所以Gauss-Seidel迭代法发散说明G-S法发散时而J法却收敛因此,不能说G-S法比J法更好例：已知x=1,4,9的平方根为1,2,3，利用牛顿基本差商公式求的近似值。解：从而得二阶牛顿基本差商公式为因此计算得的近似值为将原方程化为等价方程取初值x2=0.9644x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000依此类推,得已经收敛,故原方程的解为用LU直接三角分解法求解方程组AX=b其中A=b=