二重积分的计算法

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1、第二节二重积分的计算法*三、二重积分的换元法一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分如果积分区域为：［X－型］其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分则如果积分区域为：［Y－型］X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.注:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域

2、,则（3）二重积分化累次积分的步骤①画域，②选序，③定限（4）累次积分中积分的上限不小于下限（5）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，特别要画好围成D的几条边界线，若是X—型，就先y后x，若是Y—型，就先x后y，注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数。解积分区域如图,既是X－型，也是Y－型解积分区域如图例3.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则例4.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看

3、作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,则例5.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则分析积分区域可表示为X型区域D:1y1,1x

4、的闭区域.例6计算sdyxyDòò-+221,其中D是由直线y=1、x=-1于是有òòòò-+=-+-122112211xDdyyxydxdyxys,例7.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,注:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.解二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下的二重积分在极坐标系下二重积分的计算如果积分区域可表示为D:j1(q)rj2(q),aqb,则提示讨论区域如下图,如何确定积分限?(1)(2)(1)(2)思考:下列

5、各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)解例10.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.注:利用例10可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例10的结果,得①故①式成立.解例11.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知定积分换元法*三、二重积分换元法满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,面积元素的关系为二重积分的换元公式

6、:例如,直角坐标转化为极坐标时,例12.计算其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.解:令则例13.计算由所围成的闭区域D的面积S.解:令则练习题练习题答案作业：p-153习题10-21(2),(4);2(3),(4);5;6(2),(4);(第一次）11(2),(4);13(3),(4);14(2),(3);15(1),(4);(第二次）