2.5特征值与特征向量 (2)

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1、矩阵与变换特征向量与特征值问题探究1、计算下列结果:以上的计算结果与的关系是怎样的?2、计算下列结果:以上的计算结果与的关系是怎样的?问题探究Ma=lal为矩阵M的特征值,a为矩阵M的属于特征值l的特征向量。特征值及特征向量的定义设矩阵A=,如果对于实数l,存在一个非零向量a,使得Aa=la,则称l是矩阵A的一个特征值。α是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量。从几何上看,特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后,保持在同一条直线上。这时,特征向量或者方向不变(l>0),或者方向相反(l<0).特别地,当l=0时,特征向量被变换成了0向量.设l是矩阵A=的一个特征值,它的一个特征向量为则即满足方程

2、组故因l≠0,所以x,y不全为0,此时Dx=0、Dy=0.则D=0即设矩阵A=,l∈R,我们把行列式称为A的特征多项式。分析表明,如果l是矩阵A的特征值,则f(l)=0此时,将l代入方程组(*),得到一组非零解即为矩阵A的属于l的一个特征向量.例题评析例1、求出矩阵A=的特征值和特征向量能否从几何变换的角度直接观察出矩阵A的特征向量?思考:总结求二阶矩阵特征值与特征向量的步骤:其几何意义是什么?如果a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量,则对任意的非零常数t,ta也是矩阵A的属于特征值l的特征向量。【定理1】属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线.属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。【定理2

3、】属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系?思考:探究:1、矩阵A=的特征向量是什么?怎样从几何角度加以解释?2、从几何角度解释的特征向量。知识回顾2、自学课本68至69页内容,总结求的步骤。新课讲解建构数学任意向量都可以用特征向量来表示。

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