几何证明与三角形的心

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1、三角形幾何證明與三角形的心重點回顧１.任意三角形的內角和為180。2.三角形的全等性質(SSS,SAS,ASA,AAS,RHS)3.兩平行線被一線所截，同位角、內錯角相等同側內角互補。外心定義：三角形三邊的中垂線交於一點，此交點稱之為此三角形的外心。性質：1.此心距個頂點距離相等2.銳角三角形外心在三角形內部3.鈍角三角形外心在三角形外部內心定義：三角形三內角的角平分線相交那點，稱之為三角形的內心。性質：1.內心到三角形各邊等距。2.三角形面積=×內接圓半徑×三角形周長重心定義：三角形中線所相交的點，稱此點為該三角形的重心。性質：1.重心與三頂點的連線，將三角形平分成

2、三等份2.三中線將三角形平分成六等份例題右圖是10個相同的正六邊形緊密排列在同一平面上的情形。根據圖中各點的位置，判斷O點是下列哪一個三角形的外心？【96年第二次基本學測】(A)△ABD(B)△BCD(C)△ACD(D)△ADE解答解析：若O為某三角形的外心，則此三角形三邊上的中垂線必通過O點(A)△ABD中，AB的中垂線不通過O點(B)△BCD中，BC的中垂線不通過O點(C)△ACD中，三邊的中垂線都通過O點(D)△ADE中，DE的中垂線不通過O點例題右圖是兩全等的正方形ABCD與APQR重疊情形。若∠BAP＝30°，AB＝6，則圖中斜線部分面積為何？(A)48

3、(B)54(C)81－18(D)108－36【95年第二次基本學測】解答解析：設正方形ABCD與正方形APQR交S點連接AS，APS與ADS中AS＝AS，AP＝AD，∠P＝∠D＝90°∴APSADS(RHS)PS＝DS，∠PAS＝∠DAS＝∠PAD＝(90°－∠BAP)＝30°故APS與ADS的三內角皆為30°、60°、90°PS：AP＝1：，PS＝6，DS＝PS＝6APS＝ADS＝APPS＝66＝18塗色部分的面積＝正方形APQR－APS－ADS＝(6)2－18－18＝108－36例題如右圖，AB＝BC，BC＞AC，P、Q兩點在AM上

4、，其中AP＝PQ，且Q為△ABC的重心。若兩直線BP、BQ與AC分別交於S、R兩點，則下列關係何者正確？【95年第一次基本學測】(A)AS＝SR(B)AR＝RC(C)QB＝QC(D)QR＝2PS例題如圖，AD是△ABC的中線，H點在AC上，且BH⊥AC。若AB＝12，BC＝10，AC＝14，連接DH，則DH＝？【94年第二次基本學測】(A)4(B)5(C)6(D)7解答因為AD為△ABC的中線，所以D為BC中點又△BCH為直角三角形(因為BH⊥AC)故DH＝BD＝CD＝BC＝5例題如圖，四邊形ABCD中，∠B＝60°、∠DCB＝80°、∠D＝100°。若P、Q兩

5、點分別為△ABC及△ACD的內心，則∠PAQ＝？【94年第一次基本學測】(A)60°(B)70°(C)80°(D)°解答∠B＝60°、∠DCB＝80°、∠D＝100°DAB＝360°－100°－80°－60°＝120°PAQ＝DAB＝60°例題△ABC中，∠A＝40°，∠B＝40°，∠C＝100°。若I為△ABC的內心，則下列有關△AIB、△AIC、△BIC之面積關係的敘述何者正確？【93年第二次基本學測】(A)△AIC的面積＝△BIC的面積(B)△AIB的面積＝△BIC的面積(C)△AIB的面積＝△AIC的面積(D)△AIC的面積＋△BIC的面積＝△AIB

6、的面積解答依題意作圖如右，因為∠A＝∠B＝40°，所以AC＝BCAIC的面積＝ACr＝BCr＝BIC的面積其中r表示ABC的內切圓半徑，故選(A)例題如右圖，BD為圓O的直徑，弦AC未過圓心O，則下列哪一個敘述是正確的？【93年第一次基本學測】(A)O是△PCD的外心(B)O是△APD的外心(C)O是△ACD的外心(D)O是△BCP的外心例題如右圖，△ABC中，∠ABC＝90°，O為△ABC的外心，∠C＝60°，BC＝2。若△AOB面積＝a，△OBC面積＝b，則下列敘述何者正確？(A)a＞b(B)a＜b(C)a－b＝0(D)a＋b＝4【92年第一次基本

7、學測】解答因為三角形的外心到三頂點等距離，所以OA＝OB＝OC在AOB與OBC中，因為OA＝OC，而且BE＝BE所以AOB的面積＝OBC的面積，即a＝b，故選(C)謝謝您的聆聽希望對您有幫助謝謝～！！