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1、第二节一阶微分方程可分离变量方程齐次方程一阶线性方程全微分方程1一阶微分方程的一般形式也可表示为一阶微分方程初始值问题2一可变量分离方程转化解分离变量方程可分离变量方程一般形式或3分离变量方程的解法:设y＝(x)是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且说明由②确定的隐函数y＝(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.4例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步
2、不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)5例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为6例3求解微分方程解:分离变量得两边积分得7例4.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原8例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入
3、上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t足够大时9二齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:1齐次方程10例6解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)11例7.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.12
4、(h,k为待2可化为齐次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k(齐次方程)定常数),13求出其解后,即得原方程的解.原方程可化为令(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程14例8.求解解:令得再令Y＝Xu,得令积分得即15得C=1,故所求特解为代回代回16例9求解解:令代入方程得分离变量:积分得代回原变量,得原方程的通解:17例10.求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:18解分离变量法得所求通解为19三一阶线性微分方程1一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(
5、x)0,称为非齐次方程.称为齐次方程;1).解齐次方程分离变量两边积分得故通解为20对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得21解法一常数变易法对应的齐次方程为分离变量得两边积分22解法二公式法方程为23例12求解微分方程解方程化为不易求解即这是关于未知函数的线性方程。方法一常数变易法，相应的齐次方程为即令则代入方程得即24原方程的通解为方法二公式法原方程为这里25例134有连接A(0,1)、B(1,0)两点的一条凸曲线，它位于AB的上方，P(x,y)为该凸曲
6、线上的任意一点,已知该曲线弧与AP之间的面积为x3，求该曲线的方程解设所求曲线方程为根据题意得两端对x求导得即26这是一阶线性微分方程，利用公式得通解.272伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)28解例1429四全微分方程1全微分方程若一个一阶微分方程的左端恰好是某个函数全微分，即则称这个微分方程为全微分方程（又称其为恰当方程）判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,为全微分方程则30求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积
7、分与路径无关的条件.1.求原函数u(x,y)2.由du=0知通解为u(x,y)=C.31例15求解解1:因为故这是全微分方程.则有因此方程的通解为32例16求解解法2凑微分法因此方程的通解为33例17.求解解:∴这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为即故原方程的通解为或34或取则有故原方程的通解为352积分因子法思考:如何解方程这不是一个全微分方程,就化成例17的方程.使为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘若存在连续可微函数积分因子.36例18求解解:分项
8、组合得即选择积分因子同乘方程两边,得即因此通解为即因x=0也是方程的解,故C为任意常数.37最后注意，积分因子不是唯一的。例如方程是其积分因子38备用题已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解:因积分与路径无关,故有即因此有39
