新版欧普电工产品介绍

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1、1第2章线性系统的数学模型2.1引言前提：在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。数学模型——描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。静态数学模型——在静态条件下（即变量各阶导数为零），描述变量之间关系的多元一次代数方程；动态数学模型——描述变量各阶导数之间关系的微分方程。2建模的方法分析法——分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据他们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。实验法——人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法称为系统辨识。已发展成一门独立的学科分支本章重点依据。基尔霍夫定律、电磁感应定律、牛顿运动定

2、律、热力学定律等频域：频率特性等；复频域：传递函数、结构图；时域：微分方程、差分方程和状态方程。数学模型的常见类型本章只研究微分方程、传递函数等方程模型和结构图、信号流图等系统图形模型的建立及应用。相似性——虽然系统千差万别，物理运行规律不同，但若去除参数的物理背景后，其数学模型及相同输入信号下的响应却具有高度的一致性。3控制系统的相似性是自动控制理论能够研究自动控制共同规律的前提。2.2典型环节的微分方程例2-1试列写图2-1所示RLC无源网络的微分方程.解：图2-1为电学系统。设回路电流为i(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程为4消去中间变量i(t)，便得到描述网络输入输出关系的微分方程

3、为例2-2图2-2表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机械位移装置。其中，k是弹簧系数，m是运动部件质量，是阻尼器阻尼系数；外力f(t)是系统的输入量，位移y(t)是系统的输出量。根据牛顿运动定律，运动部件在外力作用下克服弹簧拉力ky(t)和阻尼器阻力将产生加速度力5系统的运动方程为可以看出，忽略系数的物理意义，以上两个不同的物理系统具有相同的运动方程，即具有相同的数学模型。例2-3试列写图2-3所示电枢控制直流电动机的微分方程，图中电枢电压为输入量，电动机转速为输出量分别是电枢电路的电阻和电感；是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通设为常值。6FSNiaeFe不参与建模7——电枢旋转时产

4、生的反电势，其大小与激磁磁通变化率及转速成正比，方向与电枢电压相反，即直流电动机的运动方程可由以下三部分组成电枢回路电压平衡方程——反电势系数电磁转矩方程——电动机转矩系数；——电枢电流产生的电磁转矩，是主动转矩。（2-3）（2-4）产生死区的原因常数8由式（2-3）～式（2-5）中消去中间变量，及，便可得到以为输出量，为输入量的直流电动机微分方程：电动机轴上的转矩平衡方程（2-5）——电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数；——电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。（2-6）负载阻力转矩9（2-6）在工程应用中，由于电枢电路电感较小，通常忽略不计，因而式（2-6）可简化为如果电枢电阻

5、和电动机的转动惯量都很小可忽略不计时，式（2-7）还可进一步简化为（2-8）这时，电动机的转速与电枢电压成正比，于是，（2-7）电动机机电时间常数——电动机传递系数——电动机可作为测速发电机使用。10例2-4图2-4为直流他激发电机示意图。其中是激磁绕组的电阻和电感；为激磁电压和激磁电流，是发电机电枢电势，为气隙磁通（Wb），为激磁绕组匝数；是发电机角速度（rad/s）。假设恒定不变，磁滞涡流、漏磁效应可忽略不计，发电机各变量在其工作点附近漂移很小。试列写以为输入，为输出的微分方程。11解：根据基尔霍夫定律，和分别为一匝和匝绕组的磁通量。（2-9）（2-10）E励磁回路方程输出电动势方程12

6、电磁感应方程为（2-11）K1、K2和K分别是一匝和N匝时绕组的电磁感应经线性化处理后的折合系数。整理式（2-9）～（2-11）可得一阶微分方程（2-12）（2-9）（2-10）（2-11）相似系统例2-3空载13相似系统例2-5图2-5齿轮系的运动方程例2-5相似系统模型的通解反映其输入输出变化的共同规律，可以统一分析，至于其特解则取决于初始条件。142.3典型环节的传递函数2.3.1传递函数的基本概念复频域下的数学模型主要是传递函数。相似系统的共同规律由数学模型的通解决定，特解与传递函数无关，所以可以选择传递函数代替微分方程以简化求解过程。设线性定常系统的微分方程的一般形式为定义——系统

7、在零初始条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比即为系统的传递函数。15或（2-25）（2-26）说明：1.零初始条件，即只有在初始条件为零时，才可以得到16否则初始条件与基本规律分析无关，属于用拉氏变换进行特殊规律分析。其中是由和的初始条件决定的s的常系数多项式，就是分母和分子多项式。17当时，称为系统的脉冲响应。反映了系统的动态响应特性，其时域下的冲激响应为，一般以图形表示，而微分方程和传递函数是参数模