2.3.2 平面与平面垂直的判定1

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1、2．3.2平面与平面垂直的判定1．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．2．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做．这条直线叫做二面角的棱，如图(1)中的AB，(2)中的l；这两个半平面叫做二面角的，如图中的α、β.二面角面3．以二面角棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作的两条射线，则这两条射线所成的角，叫做．4．二面角的大小，可以用来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．垂直于棱二面角的平面角它的平面角5．直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角．6

2、．一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面．7．两个互相垂直的平面通常画成下图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的垂直．平面α与β垂直，记作.互相垂直横边α⊥β8．定理：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直．这个定理说明，可以由证明平面与平面垂直．垂线直线与平面垂直补练如图，已知ABCD－A1B1C1D1为长方体，且底面ABCD为正方形，试问：截面ACB1与对角面BD1垂直吗？解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵BB1⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B

3、.又∵BD∩BB1＝B，故AC⊥对角面BD1.已知AC在截面ACB1内，∴截面ACB1⊥对角面BD1.1．判定定理告诉我们：线面垂直，则面面垂直．处理面面垂直问题转化为线面垂直，进一步转化为处理线线垂直(平面问题)解决．2．判定面面垂直方法：定义法和定理法．3．两个平面垂直需要用“二面角”的概念，注意：(1)二面角大小是用平面角度量；(2)平面角大小是由两个面的位置确定的，与棱上点的位置无关；(3)平面角两边分别在二面角两个面内，且两边都与二面角棱垂直，角所确定的面与棱垂直．4．异面直线所成角、斜线

4、与面所成角、二面角统称空间角，求解方法相同，步骤：第一步，作出平面角；第二步，证所作的角满足定义；第三步，将作出的角放在三角形中，计算平面角大小，简称为“一作二证三计算”．1．自二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有条件()A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l且AO⊂α，BO⊂β解析：由二面角的平面角的定义可知选D.答案：D2．Rt△ABC在平面α内的射影是△A1B1C1，设直角边

5、AB∥α，则△A1B1C的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上三种情况都有可能解析：设∠B为直角，由条件知AB∥α，由线面平行的性质知AB∥A1B1，又BC∠AB，∴BC⊥A1B1.又知BB1⊥α，∴BB1⊥A1B1.∴A1B1⊥面BB1C.∴A1B1⊥B1C.∴△A1B1C为直角三角形．答案：A3．如图，过矩形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，图中互相垂直的平面有()A．2对B．3对C．4对D．5对解析：∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAD，∴平面P

6、AB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.又DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.又DA⊂平面PAD，∴平面PAB⊥平面PAD.又∵BC⊥AB，BC⊥PA，∴BC⊥平面PAB.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.同理，平面PDC⊥平面PAD.∴共有2＋1＋1＋1＝5对．答案：D4．将锐角A为60°，边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角，则点A与点C之间的距离为________．5．如图，将矩形ABCD沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好

7、在CD上．求证：平面A1BC⊥平面A1BD.证明：连接A1O.如图，∵A1在平面BCD上的射影O在CD上，∴A1O⊥平面BCD.又BC⊂平面BCD，∴BC⊥A1O.又BC⊥CD，A1O∩CD＝O.∴BC⊥平面A1CD.∴BC⊥A1D.又A1D⊥A1B，A1B∩BC＝B，∴A1D⊥平面A1BC.∵A1D⊂平面A1BD，∴平面A1BC⊥平面A1BD.