矩阵的标准型及分解

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1、第三章矩阵的标准形与若干分解形式§1矩阵的相似对角形§2矩阵的约当标准形§3哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式§4多项式矩阵与史密斯标准形§5多项式矩阵的互质性与既约性§6有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解§7系统的传递函数矩阵*§8舒尔定理及矩阵的QR分解§9矩阵的奇异值分解标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相似矩阵有许多相似不变量：特征多项式、特征值（包括代数重数和几何重数）、行列式、迹及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似矩阵集合中的“代表矩阵”的问题。

2、“代表矩阵”当然越简单越好。对于可对角化矩阵，“代表矩阵”就是特征值组成的对角矩阵。特别地，对于正规矩阵，可逆的相似变换矩阵特殊化为酉矩阵或正交矩阵。但是令人非常遗憾的是：一般矩阵未必与对角矩阵相似！！！3.2、矩阵的Jordan标准型由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们“退而求其次”，寻找“几乎对角的”矩阵。这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题，其中Jordan标准型是最接近对角的矩阵，只在第1条对角线上取1或0。弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算上以及应用上的许多问题就容易处理了，当然花费也

3、大了。一、Jordan标准型的概念定理1设是复数域上的线性空间上的线性变换。令在的一组基下的矩阵表示为，如果的特征多项式可分解因式为则可分解成不变子空间的直和这里适当选取每个子空间的基（称为Jordan基），则每个子空间的Jordan基合并起来即为的Jordan基，并且在该Jordan基下的矩阵为块对角阵称为的Jordan标准型。并称方阵为阶Jordan块。定理2设。如果的特征多项式可分解因式为则可经过相似变换化成唯一的Jordan标准型(不计Jordan块的排列次序)，即存在可逆矩阵(称为Jorda

4、n变换矩阵)使或者有Jordan分解二、Jordan标准型的一种简易求法把的同一个特征值的若干个Jordan块排列在一起，就得到Jordan标准型其中是阶的Jordan子矩阵，有个阶数为的Jordan块，即其中是阶的矩阵。根据的结构，将Jordan变换矩阵列分块为由，可知进一步，根据的结构，将列分块为其中是阶矩阵。由，可知最后，根据的结构，设由，可知解这个方程组，可得到Jordan链这个名称也可以这样理解：其中，是矩阵关于特征值的一个特征向量，则称为的广义特征向量,称为的级根向量。当所有的时，可知，此

5、时矩阵没有广义特征向量，的各列是的线性无关的特征向量，因此Jordan块都是一阶的，此时Jordan标准型为即矩阵是可对角化矩阵。显然正规矩阵是一类最特殊的可对角化矩阵。例3求矩阵的Jordan标准型和相应的Jordan变换矩阵，其中解：特征值为，所以设因为特征值为单根，所以并从解得对应的特征向量为对于二重特征值，由只解得唯一的特征向量为因此中只有一个Jordan块，即求解，可得所需的广义特征向量对重根有几个特征向量，就有几个约旦块综合上述，可得例4用Jordan标准型理论求解线性微分方程组解：方程组

6、的矩阵形式为这里其中由上例，存在可逆线性变换使得所以原方程组变为即解得最后，由可逆线性变换得原方程组的解例5现代控制理论中，线性定常系统(Lineartimeinvariant,LTI)的状态空间描述为这里矩阵表示了系统内部状态变量之间的联系，称为系统矩阵；矩阵称为输入矩阵或控制矩阵；矩阵称为输出矩阵或观测矩阵；矩阵称为直接观测矩阵。做可逆线性变换，则显然，最简单的就是的Jordan标准型。此时虽然没有实现状态变量间的完全解耦，但也达到了可能达到的最简耦合形式。因此线性变换就是状态空间的基底变换，其目

7、的在于寻找描述同一系统的运动行为的尽可能简单的状态空间描述。求下列状态方程的约当标准型：这里矩阵是特征多项式的友矩阵。解：的特征值为，故设因为特征值为单根，所以并从解得对应的特征向量为只解得唯一的特征向量为对于二重特征值，由因此中只有一个Jordan块，即求解，可得所需的广义特征向量综合上述，可得因此经过可逆线性变换后，系统矩阵和控制矩阵分别为例6求矩阵的Jordan标准型和相应的Jordan变换矩阵，其中因为特征值为单根，所以解：的特征值为，则并从解得对应的特征向量为对于三重特征值，由解得两个特征向

8、量为因此中有两个Jordan块，即求解，无解！！求解，可得所需的广义特征向量综合上述，可得综合上述，可得要特别当心的是，如果选取三重特征值的特征向量为求解，无解！！求解，也无解！！！这说明，在选取特征值的个特征向量前述求法显然存在有待深化。这说明，在选取特征值的个特征向量三、Jordan标准型的一般方法有非零解的最小正整数。根据前面的分析，这个最小正整数也就是相应于特征值的最大Jordan块的阶数。设为复方阵的代数重数为的特征值，为使得等式成立的最小正整