线性代数正定二次型

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1、第四节　正定二次型一惯性定理二正定二次型三应用举例一、惯性定理定理（惯性定理）线性变换选择的不同会导致标准形的不同，即：二次型任一二次型均可通过非退化的线性变换化为标准形，但方项的个数与负平方项的个数却是唯一确定的。实二次型定义：确定的，二者的和等于矩阵A的秩.实二次型标准形中的正平方项的项数p称为二次型的标准形不唯一。但由惯性定理可知，标准形中的正平经过非退化的线性变换化为标准形时，其标准形中正、负项的项数是唯一的正惯性指数，负平方项的项数q称为二次型的负惯性指数，二者的差(p-q)=p-(r-p)=2p-r称为二次型的符号差.设实二次型的若对上述标准形再做如下

2、的非退化线性变换：则可得到规范形的标准形为于是有如下结论:定理：任一实二次型总可以经过适当的非退化线性变换化为规范形，且规范形的形式是唯一的。换句话说，任一实对称矩阵必合同于如下形式的对角阵二、正定二次型，若对任意的为正定二次型，称正定二次型的练习判断下列二次型是否为正定的定义：设n元实二次型，均有则称矩阵A为正定矩阵.√××从上述例子可以看出，通过实二次型的标准形定理：n元实二次型正定的充要条件是其正惯性指数为n.证明：设n元实二次型f经过非退化线性变换X=PY化为标准形因P可逆，判断其正定性是比较容易的，且有如下定理：即正惯性指数为n．将上述结果对应到二次型的

3、矩阵A上，则可方便的通过A来判断二次型的正定性.定理：n元实二次型正定的充要条件是A的全部特征值均为正数.证明：对于n元实二次型，存在正交变换X=CY，使得由于C是正交矩阵，故是A的特征值，故的正惯性指数为n的充要条件是注：由于正定二次型的正惯性指数为n，故可通过非退化线性变换X=PY化为正惯性指数为n的规范形：故有如下定理：定理：实对称矩阵A正定的充要条件是存在可逆矩阵P，使推论：正定矩阵的行列式大于零.推论：若A为正定矩阵，则A-1，A*，kA(k>0)均为正定提示：对两端取行列式.提示：A正定等价于A的所有特征值大于0矩阵。推论：若A、B为正定矩阵，则A+B

4、也是正定矩阵提示：利用定义证明.首先验证A+B为对称矩阵注：若A、B为正定矩阵，能否断定AB为正定矩阵？推论：若A为实对称矩阵，t为一正实数，则t充分大时，为正定矩阵.提示：为A的特征值.最后，给出一个判断实对称矩阵A为正定的常用定理，先定义：设A为n阶实对称矩阵，则顺序取A的前k行、前k列补充一个定义.交叉处的元素组成的矩阵称为A的k阶顺序主子阵，

5、Ak

6、称为A的k阶顺序主子式.A共有n个顺序主子阵，且均为实对称矩阵.定理（Sylvester定理）：实二次型正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于零.三、应用举例例：t取何值？是正定的提示：由Sylvester定

7、理，