7.1有向图及无向图

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1、第七章图的基本概念第八章一些特殊的图7.1无向图及有向图7.2通路、回路、图的连通性7.3图的矩阵表示7.4最短路径及关键路径最短路径关键路径8.1二部图8.2欧拉图8.3哈密尔顿图8.4平面图作业7.1无向图及有向图设A,B为两集合,称{{a,b}｜a∈A∧b∈B}为A与B的无序积,记作A＆B．将无序对{a,b}记作(a,b).无向图一个无向图G是一个二元组,即G＝,其中,(1)V是一个非空的集合,称为G的顶点集,V中元素称为顶点或结点；(2)E是无序积V＆V的一个多重子集,称E为G的边集,E中元素称为无向边或简称边.有向图一个有

2、向图D是一个二元组,即D＝,其中,(1)V同无向图中的顶点集；(2)E是卡氏积的多重子图,其元素称为有向边,也简称边.给每条边赋与权的图G=称为加权图，记为G=,其中W表示各边权的集合。23.57.8设ek＝(vi,vj)为无向图G＝中的一条边,称vi,vj为ek的端点,ek与vi(或vj)是彼此关联的.无边关联的顶点称为孤立点.若一条边所关联的两个顶点重合,则称此边为环.ek与vi(或vj)的关联次数1vi≠vj,2vi＝vj,0vi(vj)不是ek的端点bavV’设G＝为一无向图或有向图

3、(1)若V,E都是有穷集合,则称G是有限图.(2)若｜V｜＝n,则称G为n阶图．(3)若E＝,则称G为零图．特别是,若此时又有｜V｜＝1,则称G为平凡图.相邻设无向图G＝〈V,E〉,vi,vj∈V,ek,el∈E.(1)若存在一条边e以vi,vj为端点,即e＝(vi,vj),则称vi,vj是彼此相邻的,简称相邻的．(2)若ek,el至少有一个公共端点,则称ek,el是彼此相邻的,简称相邻的．始点终点以上两定义对有向图也是类似的若ek＝〈vi,vj〉,除称vi,vj是ek的端点外,还称vi是ek的始点,vj是ek的终点,vi邻接到vj,vj邻接于vi.度

4、设G＝为一无向图,vj∈V,称vj作为边的端点的次数之和为vi的度数,简称度,记作d(vj).称度数为1的顶点为悬挂顶点,它所对应的边为悬挂边.设D＝为一有向图,vj∈V,称vj作为边的始点的次数之和,为vj的出度,记作d+(vj)；称vj作为边的终点的次数之和,为vj的入度,记作d-(vj)；称vj作为边的端点的次数之和,为vj的度数,简称度,记作d(vj).显然d(vj)＝d+(vj)＋d-(vj).deg(v1)＝3，deg+(v1)＝2，deg-(v1)＝1；deg(v2)＝3，deg+(v2)＝2，deg-(v2)＝1；de

5、g(v3)＝5，deg+(v3)＝2，deg-(v3)＝3；deg(v4)＝deg+(v4)＝deg-(v4)＝0；deg(v5)＝1，deg+(v5)＝0，deg-(v5)＝1；其中，v5是悬挂结点，为悬挂边。最大度和最小度对于图G＝,记Δ(G)＝max{d(v)｜v∈V},(G)＝min{d(v)｜v∈V},分别称为G的最大度和最小度.若D＝〈V,E〉是有向图,除了Δ(D),(D)外,还有最大出度、最大入度、最小出度、最小入度,分别定义为基本定理(握手定理)设图G＝为无向图或有向图,V＝{v1,v2,...,vn

6、},

7、E

8、=m(m为边数),则推论任何图(无向的或有向的)中,度为奇数的顶点个数为偶数.定理设有向图D＝,V＝{v1,v2,...,vn},｜E｜＝m,则度数序列设V＝{v1,v2,...,vn}为图G的顶点集,称(d(v1),d(v2),...,d(vn))为G的度数序列.例7.1(1)(3,3,2,3),(5,2,3,1,4)能成为图的度数序列吗？为什么？(2)已知图G中有10条边,4个3度顶点,其余顶点的度数均小于等于2.问G中至少有多少个顶点？为什么？平行边、重数、多重图、简单图在无向图中,关联一对顶点的无向边如果多于1条,称这些边为平

9、行边.平行边的条数称为重数.在有向图中,关联一对顶点的有向边如果多于1条,且它们的始点与终点相同,则称这些边为有向平行边,简称平行边.含平行边的图称为多重图.既不含平行边,也不含环的图称为简单图.例无向完全图、有向完全图设G=是n阶无向简单图,若G中任何顶点都与其余的n－1个顶点相邻,则称G为n阶无向完全图,记作Kn.设D=为n阶有向简单图,若对于任意的顶点u,v∈V(u≠v),既有有向边,又有,则称D是n阶有向完全图.Kn均指无向完全图.图7.2在图7.2(1)中所示为K4,(2)所示为K5,(3)所示为3阶有向

10、完全图.子图、真子图设G=,G‘=是两个图.若V’V,