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1、第四讲数值计算符号数学工具箱一、方程求解1.求解单个代数方程MATLAB具有求解符号表达式的工具：solve>>solve('a*x^2+b*x+c')%求方程的根ans=[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^1/2)][1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^1/2)]结果是符号向量，其元素是方程的2个解。如果想对非缺省x变量求解，solve必须指定变量。>>solve('a*x^2+b*x+c','b')%求解关于变量b的根ans=ans=-(a*x^2+c)/x带有等号的符号方程也可以求解。>>f=solve('cos(x)=sin(x)')%solveforxf
2、=1/4*pi线性方程组求解写成AX=b的形式，则线性方程求解a=[721-29153-2-2-211513213]b=[47-10]'x=abx=0.49790.14450.0629-0.0813微分符号表达式的微分以四种形式利用函数diff：diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个：diff(f)传回f对预设独立变数的一次微分值diff(f,'t')传回f对独立变数t的一次微分值diff(f,n)传回f对预设独立变数的n次微分值diff(f,'t',n)传回f对独立变数t的n次微分值>>f='a*x^3+x^2-b*x-c'%定义一个符号表达式f=a*x^
3、3+x^2-b*x-c>>diff(f)%对缺省的变量x求导ans=3*a*x^2+2*x-b>>diff(f,'a')%关于a求导ans=x^3>>diff(f,2)%关于x求二阶导数ans=6*a*x+2>>diff(f,'a',2)%关于a求二阶导数ans=0积分int函数用以演算一函数的积分项。如果积分式的解析式(analyticalform,closedform)不存在的话或是MATLAB无法找到，则int传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列4个：int(f)传回f对预设独立变数的积分值int(f,'t')传回f对独立变数t的积分值int(f,a,b)传回f对预设独立
4、变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式int(f,'t',a,b)传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式int(f,'m','n')传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式我们示范几个例子：>>S1='6*x^3-4*x^2+b*x-5';>>S2='sin(a)';>>S3='sqrt(x)';>>int(S1)ans=3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x>>int(S2)ans=-cos(a)>>int(S3)ans=2/3*x^(3/2)>>int(S3,'a','b')ans=2/3*b^(3
5、/2)-2/3*a^(3/2)>>int(S3,0.5,0.6)ans=2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2)>>numeric(int(S3,0.5,0.6))%使用numeric函数可以计算积分的数值ans=0.0741单个微分方程常微分方程有时很难求解，MATLAB提供了功能强大的工具，可以帮助求解微分方程。函数dsovle计算常微分方程的符号解。因为我们要求解微分方程，就需要用一种方法将微分包含在表达式中。所以，dsovle句法与大多数其它函数有一些不同，用字母D来表示求微分，D2，D3等等表示重复求微分，并以此来设定方程。任何D后所跟的字母为因变量。例如：1.
6、y'=g(x,y)，须以Dy代表一阶微分项y'2.D2y代表二阶微分项y''方程y''=0用符号表达式D2y=0来表示。MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式condition则为初始条件。例如，一阶方程dy/dx=1+y2的通解为：>>dsolve('Dy=1+y^2')%求通解ans=-tan(-x+C1)其中，C1是积分常数。求解初值y(0)=1的同一个方程就可产生：>>dsolve('Dy=1+y^2'，'y(0)=1')%加上了一个初始条件y=tan(x+1/4*pi)让我们举一
7、个二阶微分方程的例子，该方程有两个初始条件：y''=cos(2x)-yy'(0)=0y(0)=1>>y=dsolve('D2y=cos(2*x)-y'，'Dy(0)=0'，'y(0)=1')y=-2/3*cos(x)^2+1/3+4/3*cos(x)微分方程：y''-2y'-3y=0通解为：>>y=dsolve('D2y-2Dy-3*y=0')y=C1*exp(-x)+C2*exp(3*x)加上初始条件：y(0)=0和y(1)=1可得到：>>y=dsolve('D2y
