【精品】高代论文

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1、特征值与特征向量的有关综述及其实际运用理学院数学系1003班XXX摘要：本论文主要阐述了特征值与特征向量的基本概念、求法、性质、及其在对角矩阵和实际中的应用，和它的数学与物理意义还有应用前景。关键词：特征值、特征向量、线性变换、矩阵—、弓丨言逻辑运算是人类大脑思维中极其重要的一种形式，而高等代数既是从这其中演化出来的一门学科，并随着社会的发展和进步中作为一种有用的工具解决了很多的难题。我们认识客观事物，固然要弄清它们单个与总体之间的关系性质，跟重要的是研究他们之间的各种各样的联系。线性空间是某一事物从量的方面的一个抽象。在线性空间中，事物之间的联系为线性空间的映射，线性变

2、换就是线性空间V到自身的映射。而特征值与特征向量便能使用矩阵表示的线性空间具有普遍而最简单的形式，从而使得冗长的计算变得简化，它们对于线性变换的研究具有基本的重要性。特征值与特征向量在数学中有着很重要的意义，同时也有着具体的物理意义，在实际生活中也处理着相当多的问题。二、特征值与特征向量的概念与求法1、设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中的一数，从在一个非零向量，使得那么称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量。如果是线性变换的属于特征值的特征向量，那么的任何一个非零倍数k也是属于的特征向量。即可推岀这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的，相反

3、，特征值却是由特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值。2、矩阵的特征值和特征向量计算矩阵的特征值和特征向量假设我们想要计算给定矩阵的特征值。若矩阵很小，我们可以用特征多项式进行符号演算。但是，对于大型矩阵这通常是不可行的，在那种情况我们必须采用数值方法。描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式：说入是A的特征值等价于说线性系统（A-入I）v=0（其中I是恒等矩阵）有非零解v（—个特征向量），因此等价于行列式函数P（入）二det（A-入I）是入的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和。这就是A的特征多项式：矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。一个矩阵

4、A的特征值可以通过求解方程pA（入）二0来得到。若A是一个nXn矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n,每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n,非实数特征值成共觇对出现。3、求法确定一个线性变换的一个特征值与特征向量的方法可以分成以下几步：1、线性空间V中取一种基，写出在这组基下的矩阵A；2、求出A的特征多项式在数域P中的全部的根，它们也就是线性变换的全部特征值；3、把所求的特征值逐个地代入方程组，对于每一个特征值，解方

5、程组，求出一组基础解析，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标，这样我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量。例：设线性变化在基下的矩阵是A二，求的特征值与特征向量。因为多项式是所以特征值是-1（二重）和5.把特征值-1代入齐次方程组得到它的基础解析是因此，属于-1的两个线性无关的特征向量就是而属于-1的全部特征值与特征向量就是，取遍数域P中不全为零的的全部对数，再用特征值5代入得它的基础解析是，因此，属于5的一个线性无关的特征向量就是而属于5的特征向量就是，k是数域p中任意不等于零的数。例：在空间P中，线性变换f(x)二(x)在基1,x,

6、,…，下的矩阵是D二，D的特征多项式是因此，D的特征值只有0•通过解相应的齐次性方程组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数。这表明微商为零的多项式只能是零或非零常数。4、对角矩阵下的的特征值与特征向量对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，其具有以下性质:(1)、设是n维线性空间V的一个线性变换，的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是，有n个线性无关的特征向量。(2)、属于不同特征值的特征向量是无关的三、特征值与特征向量分别在数学和物理中的意义和应用场景1、特征的数学意义我们先考察一种线性变化，例如X,y坐标系的椭圆方程可以写为xV/aV+Q

7、2/J2=1,那么坐标系关于原点做旋转以后，椭圆方程就要发生变换。我们可以把原坐标系的(x,y)乘以一个矩阵，得到一个新的(x',y')的表示形式，写为算子的形式就是(x,y)*M二(x，,y，)。这里的矩阵M代表一种线性变换：拉伸，平移，旋转。那么，有没有什么样的线性变换b(b是一个向量)，使得变换后的结果，看起来和让(x,y)*b像是一个数b乘以了一个数字m*b?换句话说，有没有这样的矢量b,使得矩阵A*b这样的线性变换相当于A在矢量b上面的投影m*b?如果有，那么b就是A的一个特征向量，m就是对应的一个特征值。一个矩阵的