东北大学数值分析08数值分析(研)答案

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1、东北大学研究生院考试试卷2008—2009学年第1学期课程名称：数值分析总分—(1-8)—(9-10)二三四五-、解答下列各题：（每题5分，共50分）1.的近似值兀具有5位有效数字，求兀的绝对谋差限。由于VhT=1O.5...=O.1O5....x1O2,所以IVTH-X

2、

3、在区间[0,1]的表达式。2.设A=,求p(A)和Cond(A)lop(A)=5+^33,Cond(A=21oQ由已知可得5（0）=0,5?（0）=0,5（1）=1,5Z（1）=--,所以在［0,1］上有:71,S（兀）=一尹（22兀一29）6.求区间［0,1］上权函数为p（x）=1的二次正交多项式人仏）。P{(x)=X-（兀,G））（恥）p.=<93.兀为何值时，矩阵AX<33、4可分解为GGJ并求3兀二6时的分解式,其中（心）（亦））1-x+—6G为下三角矩阵。由A正定可得,‘963、0、勺2

4、rA=684——2221343J11丿<1丿0

5、=3x3-5x2+1,求差商/[0,1],/[0,1,2,3],/[0,1,2,3,4]o/[0,1]=-2,/[0,1,2,3]=3,/[0,1,2,3,4]=0。的截断课差R[f]o9.求Gauss积分公式f（x）dx-/（-占）由于Go俯s积分公式具有3次代数精度，所以ri11R[f]=L/(兀)张一[/(—厉)+/(希)]£fMdx一£H3{x)dx+J：H3{x)dx-[f(-咅)+/(吉)]:上孕（兀+寺）2（兀-却加4!4!13510.求解初值问题爲g1X2的改进E"方法是否收敛？为什么

6、？由于/(x,y)=yex,所以

7、/(x,y)一/(x,y)

8、=

9、ex(y-y)l,A所以，Gauss-Seidel迭代法不收敛。三、(12分)已知方程%=ln%+2,1.证明此方程在区间(1,+°°)内有唯一根。；2.建立一个收敛的迭代格式，使对任意初值x0

10、e[e,2e>]都收敛，说明收敛理由和收敛阶。3.若取初值兀。=£,用此迭代法求精度为£=10-5的近似根，需要迭代多少步？1.记/(x)=x-ln兀一2,贝!jfx)=1——>0,(x>1)又由于f(e)=e-3<0,f(2e)=2e-ln2-3>0所以，方程在区间(1,+°°)内有唯一根Q,而且ae(e92e)o2.建立迭代格式：xk+l=Inxk+2,k=0,1,2,...,迭代函数为。(兀)=ln兀+2由于对任何x6[e,2e]有：e<3<0（兀）

11、（px）

12、=—<

13、—<1xe所以，对任意初值x0e[e,2e]都收敛。又由于(pa)=丄工0,所以收敛阶等于1。a3.由于xl=3,厶=丄，所以ek>1口(1_厶)豊讥=10.704K—兀°即，需要迭代11步。四、（16分）1•确定参数人），4，舛，西，使求积公式£Ix2f（x）dx-A）/（-1）+）+A/⑴具有尽可能高的代数精度，并问代数精度是多少？1.由于灯二九+“孚+0肇九）+与3答+2妙警九+02簣片）+0（力3）oxdy2dxdxdyoy2.利用复化Simpson公式S“计算计算定积分/=£exdx,若使

14、

15、/_S“

16、v£=Kf1,问应取〃为多少？并求此近似值。221-由血+4+4肓，-血+从+―0,為+4时+九=亍-A）+4-A2=0,可得：人）二A2=—,A]=—,Xj=0,具有3次代数精度。5152•"制赢詁八75,所以取“2。I^S2=-^（eQ+e+2严+4严5+4严）=1.7183188:五、（12分）已知求解常微分方程初值问题：:[y（ci）=a:的差分公式：O儿+1=儿+£&+'“2）:匕=fg儿）:k2=f（Xn+曲儿+0%]）k—:1•