二次函数复习重点及根分布问题

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1、初三数学培优卷：二次函数考点分析★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与X轴的交点，与y轴的交点.★★二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，aHO）一般式：y=ax2+bx+c,三个点顶点式：y=a（x—h）2+k,顶点坐标对称轴b4ac—b2顶点坐标（，)♦2a4a顶点坐标（h,k）★★★abc作用分析Ia

2、的大小决定了开口的宽窄,

3、a

4、越大，开口越小，

5、a

6、越小，开口越大，a,b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=O吋，对称轴x=O,即对称轴为y轴，当a,b同号吋，对称轴x=——<0,2a即对称轴在y轴左侧，当a,b异号时，对称轴x=-—>0

7、,即对称轴在y轴右侧，（庄同右异y轴为0

8、）lac的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c二0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c〈0时，与y轴交于负半轴，以上a,b,c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出.交点式：y=a（x-xi）（x-X2）,（有交点的情况）与X轴的两个交点坐标Xi,x2对称轴为“宁一元二次方程ox2+bx+c=0根的分布情况设方程ax2+/zv+c=O（qhO）的不等两根为兀］,兀2且兀1<兀2，相应的二次函数为f^x）=cvc+bx+c=Q,方程的根即为二次函数图象与兀轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两

9、根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0（若<0,x2<0）两个正根即两根都大于0（舛>0,花>0）一正根一负根即一个根小于0,一个大于0（旺<0)得出的结论A>0<02a/(o)>oA>0-A>02a/(0)>0/（0）＜0O大致图象(V)得出的结论A>0-A<02a/(o)0丄>02a/(o)0综合结论(不讨论G)ooA>2加卍■u-•A>0一->02a心(0)〉0表二（两根与R的大小比较）分布情况.两根都小于*即xx)得岀的结论z/l

10、//(X/O大致图象(V)d得出的结论A>0b0b<>k2a/⑷<0综合结论(不讨论d)A>0b0A>0b.>k2aa-f(k)>0Q•张)<0表三：（根在区间上的分布）分布情况内一^z了一另q，<内p司<,72伽<任mO大致图象(>)dy/■wy」-/亠-/kSTnm3-得出的结论Voo^)>±<加A//Xr0J(9)>o大致图象QV0V-JAAAy■ASTvX1XXAX-D1XV/3Xq\Xp-n1得出的结论Voo<>0哄咲丄2aA//><

11、-)可力。/l/(z(/l////广」综合结论(不讨论G)o/i,（图形分别如下）需满足的条件是对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：(1)两根有且仅有一根在(w)内有以下特殊情况：1°若/(m)=0或/何=0,则此时/(加)/(n)<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为加或n,可以求岀另外一根,然后可以根据另一根在区间(加屮)内，从而可以求出参数的值。如方程机*_(加+2)兀+2=02?在区I'可(1,3)上有一根，因为/(1)=()，所以nvc-(m+2)x+2=(

12、x-l)(A72x-2),另一根为万，由1<-<32得一on<2即为所求；32°方程有且只有一根，且这个根在区间(加/)内，即A=0,此时由A=0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程4皿+2加+6=0有且一根在区间(一3,0)内，求加的取值范圉。分析：①由/(-3)/(0)<0即153(14m+15)(m+3)<0得出-3

13、2综上分析，得岀—3