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1、二重积分的计算及应用学生姓名：***学号：***学院：***专业：***指导老师：***职称：***摘要：本文介绍了如何利用对称性来计算二重积分，并提出了通过适当改造被积函数和积分区域以利用对称性来简化计算的方法.最后对积分区域的边界曲线由参数方程表示的二重积分，也将给出两种不经消参数而直接计算的方法.关键词：二重积分；被积函数；积分区域TheCalculateandApplicationofDoubleIntegralAbstract:Thepaperintroducesthemethodofcalculatingdoubleintegralwithsymmetry5
2、andthenputsforwardacalculatingmethodbyrebuildingintegrandanddomainofintegrationreasonably.Atlast,forthedoubleintegralwhichtheboundarycurveofitsdomainofintegrationisdenotedbythepanameterequation.itsuppliesadirectedmethodwhichdoesnoteliminatetheparamete匸Keyword：Doubleintegral；Integratedfun
3、ction；Integralregion引言二重积分是一类非常重要的积分形式，主要用于求平面面积,将实际问题数学化,有利于计算.1•二重积分的定义定义1若平面图形p的内面积乙等于它的外面积7；,则称p为可求面积，并称其共同值/p=/p=77为卩的面积.定义2：设/(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数.丿是一个确定的数，若对任给的正数£，总存在某个正数5,使对于D的任何分割:T,当它的细度
4、
5、T
6、
7、<时，属于T的所有积分和都有则称/(绘y)在D上可积，数丿称为函数/(x,y)在D上的二重积分，记作其+/(x,y)称为二重积分的被积函数，x,y称为积分变量，£>
8、称为积分区域.1•二重积分的定理定理1平面有界图形P可求面积的充要条件是：对任给的£>0,总存在直线网T,使得Sp(T)-Sp(T)<£•定理2平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零.定理3若曲线K为由定义在[c“]上的连续函数/(兀)的图象，则曲线K的面积为定理4f(x,y)在。上可积的充要条件是:定理5/(兀,刃在D上可积的充要条件是：对于任给的正数£,存在D的某个分割八使得S(T)-5(r)<£.定理6有界闭区域D上的连续函数必可积.定理7设/(x,y)是定义在有界闭区域D上的有界函数.若/(兀,y)的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则/(X,y
9、)在D上可积.定理8设/(x,y)在矩形区域D=[a,b]x[c,d]Al可积,且对每个xe[a,b],积分(兀,刃心存在，则累次积分jdx^1/(x,y)dy也存在,且定理9设/(X,y)在矩形区域D=[c"]x[c,d]上可积,且对每个ye[c,d],积分皿存在，则累次积分dy^f{x,y)dx也存在，H定理10若/(x,y)在如£>={(x,y)
10、y】(x)5y5y2(x)，dSb}所示的x型区域D上连续，其中X(x)，%(兀)在［。，0］上连续,贝!JJJf(x,y)da=f纵:;)/(兀,y)dy.D即二重积分可化为先对y,后对兀的累次积分.定理11若函数P(
11、x,y),2(x,y)在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有”晋一等如血p如创八这里厶为区域D的边界曲线，并取正方向.定理12设D是单连通闭区域.若函数P(x,y),Q(x,y)在D内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：(1)沿D内任一按段光滑封闭曲线厶，有^Pdx+Qdy=Q；(2)对D中任一按段光滑封闭曲线厶，曲线积分^Pdx+Qdy与路线无关，只与厶的起点及终点有关；⑶Pdx+Qdy是D内某一函数以兀刃的全微分，即在D内有du=Pdx+Qdy；(4)在D内处处成立dPdQdydx定理13设/(x,y)在有界闭区域D上可积，变换T：x=x(u,v)
12、,y=y(w,v)将妙平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域△一对一地映成巧平面上的闭区域D,函数兀(比°),y(u9v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式J(w,v)=巧儿〉)H0,(w,V)GA,o(u,v)x=rcos0.013、J(w,v^ludv.D△定理14：设/(x,y)满足定理13的条件，且在极坐标变换7O<0<2tv下，与平面上有界闭区域D与用平面上区域△对应，则成立JJf(x，y)dxdy=jj/(rcos&,厂sin
