专题5压轴题高分策略之数列最值问题【高考数学热点题型】

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1、数列中的最值常见题型有：求数列的最大项或最小项、与S”有关的最值、求满足数列的特定条件的〃最值、求满足条件的参数的最值、实际问题屮的最值及新定义题型屮的最值问题等.类型一求数列的最大项【典例1】己知数列｛%｝的通项公式为叮,求｛色｝的最大项.tv+156【审题指导】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足的〃的值.U»an-【解法一】基本不等式法.讣舄因为"+罟之2什字;当且仅当"竽，即届时，而,n7144<7156<^且n€N于是将口=12或13代人，得且辽=&□且最犬.【解法二】利用公式，因为皱最大,①当空S即玮犷（小尸+156’解得43或

2、心2；•«+!>②当以j即药辰乙_]尸+156,解得MGS由于“eNJ所叹兀=12或兀=13时。摊最尢【评注】这类问题一般是利用基木不等式求解或求满足的〃的值,从而找到最大项[annan-l【变式训练】已知等差数列｛色｝的前〃项和为S,若54>10,S5<15,则匂的最大值为【答案】4【解析】4x34d]—d>10V54>10,5s<15,5勺+二一力£152化为2w+n=l令①=珂+3〃=加（2di+3J）+nlq+2rf）=（2w+«h1+（3加+2”）〃，[3加+2初=3,—2马-3d5—5解得利=一1"=3,、茲]+6/$9,:.a,=a^3

3、d

4、&=1+空+所以兀=2兀一乙=2+1+昇-+為一詳?z+22厂・【思路点拨】（1）一般地，如果数列｛廟是等差数列，｛加是等比数列，求数列｛禺•加的前〃项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列｛加的公比，然后作差求解.（2）在写出“S；”与的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出"Sn—qSn"的表达式.【变式训练】【2016届河北省衡水中学高三上学期四调】设向量5=（1,2）,b=[^—,atl（处N*）,+n丿a!lb,设数列｛%｝的前〃项和为S「则S〃的最小值为【答案】1allh=>j=-^―=2（-一~）=>

5、S”=2（1一一）>2（1--L）=1[解析]at+xnn+1n+11+1类型三求满足数列的特定条件的刃最值【典例3][2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列｛色｝是等差数列，若色V-1,且它的前n项和S〃有最大值，那么当S”取得最小正值时，n等于（）A.17B.16C.15D.14【分析】利用等差数列的性质求前斤项和的最值.【解析】・・•数列｛%｝的前n项和有最大值，.••数列｛%｝为递减数列，又^<-1,・・・兔>0,a9<0且他+a<）v0,又S/==]5逐>0,&6=16""；°i6）=8（鸟+色）v0,故当〃=15时，S”取得最小正

6、值，故选C.【变式训练】已知数列｛a”｝的前"项和Sn=an+tv-1,数列｛仇｝满足3"•仇+]=（n+l）art+1-nan,且b、=3・（II）设7；为数列｛仇｝的前〃项和，求乙,并求满足Tn<7时〃的最大值.【解析】（I〉刃工2R寸，SH=a^+n1—i,—+（n—l）2—1,两式相减，得皱=冷一咳_1+2川一1；二$_1=2幵一1.•-3*•几严（n+1）（2刃+3）—n（2刃+1）=4n+3Z:.b朋4幵+3当n>2时，®J，又%=3适合上式，.：®•4刃一1（】1）由（I）知乞=亍厂，3711=T+r?+-+4n—54w—1①37114

7、刃一54刃一1严=彳+尹+尹+…+3小+予-c冷zH2-巧44444w-l4w-l4“+55—①倚亍圾=3+亍+尹+罗+…+尹一=3+4•八」71--3154”+522・3小丁_4（刃+1）+54刃+5__4刃+3上芹丄斤"2乡所儿瑞,即｛£｝递増数列当Tk<1时，〃的最犬值为3・类型四求满足条件的参数的最值【典例4】己知各项均不相等的等差数列｛色｝的前四项和54=14，且e，他，坷成等比数列.(I)求数列｛色｝的通项公式;(II)设7；为数列的前〃项和，若Tn

8、基本方法为待定系数法，即求出首项与公差即可，将题屮两个条件：4®+6〃=14（⑷+2d）2=a〕（％+6d）