6.5 反常积分

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1、6.5、反常积分初步前面讨论的定积分都是有界函数在有限区间上的积分.但在实际应用与理论研究中,常常会遇到积分区间是无穷的,或者积分区间有限但被积函数无界的情形.因此需要对定积分加以推广.对无限区间上的积分称为无穷限积分,对无界函数的积分称为瑕积分,统称为反常积分.一、无穷限积分定义6.2:设函数f(x)在区间[a,)上有定义,且对任意实数b(ba),f(x)在[a,b]上可积,则称符号f(x)dx为f(x)在无穷区间[a,)上的无穷限积分.ab若极限limf(x)dx存在,则称无穷限积分f(x)dx收敛,baab且定义极限值为该无穷

2、限积分的值,记作af(x)dxblimaf(x)dx.b若极限limf(x)dx不存在,则称无穷限积分f(x)dx发散,baa这时它只是一个符号,无数值意义.1例:考虑函数f(x)在[1,)上的无穷限积分.2x1解:对任意b1,有f(x)在[1,b]上可积,2xybbb1111且f(x)dxdx1.y11x2xb21xb1o1bx因此limf(x)dxlim[1]1.b1bb几何意义:无界区域的面积.11那么由定义知:dx收敛且dx1.1x21x2例:考虑无穷限积分sinxd

3、x.0解:对任意b0,有f(x)sinx在[0,b]上可积.b且sinxdxcosb1.0b但由于limsinxdxlim[cosb1]不存在,故sinxdx发散.b0b0定义6.3:设函数f(x)在区间(,b]上有定义,且对任意实数a(ab),f(x)在[a,b]上可积,b则称符号f(x)dx为f(x)在无穷区间(,b]上的无穷限积分.bb若极限alimaf(x)dx存在,则称无穷限积分f(x)dx收敛,bb且定义极限值为该无穷限积分的值,记作f(x)dxalimaf(x)dx.b

4、b若极限alimaf(x)dx不存在,则称无穷限积分f(x)dx发散,这时它只是一个符号,无数值意义.0x例:考虑无穷限积分edx.00xxa解:对任何a0,有edxe1e.aaa而lim(1e)1a00xx故edx收敛,且edx1.0例:考虑无穷限积分(2x1)dx.0022解:对任何a0,有(2x1)dx(xx)(aa).aa2而lim[(aa)],即极限不存在.a0故(2x1)dx发散.定义6.4:设函数f(x)在区间(,)上有定义,c若对任意实数

5、c,积分f(x)dx与f(x)dx都收敛,c则称无穷限积分f(x)dx收敛,c记作f(x)dxf(x)dxf(x)dx.cc当f(x)dx与f(x)dx至少有一个发散,c则称f(x)dx发散.注:在定义6.4中,对任意实数c存在一个实数c.0c0证:"",若存在一个c使得f(x)dx与f(x)dx都收敛,0c0c0则对任意实数c,有f(x)dxf(x)dxf(x)dx,ccc0cc0cf(x)dxf(x)dxf(x)dx.c0c0c由于f(x)dx

6、与f(x)dx可积,cc0c0且cf(x)dx与f(x)dx收敛,0ccf(x)dx与f(x)dx收敛.1例:考虑无穷限积分dx.1x21101解:由于dx中包括两个无穷限积分dx与dx.1x201x21x2010对任何a0,有dxarctanxarctana.a2a1x0101而lim(arctana)().故dx收敛,且dx.a221x21x22b1b对任何b0,有02dxarctanx0arctanb.而lim(arctanb).

7、1xb211故dx收敛,且dx.01x201x2211101dx收敛,且dxdxdx.1x21x201x21x2例:考虑无穷限积分cosxdx.0解:由于cosxdx中包括两个无穷限积分0cosxdx与cosxdx.bb而在cosxdx中,对任意b0,cosxdxsinb,即cosxdx可积.000但由于limsinb不存在,故cosxdx发散,从而cosxdx发散.b0性质6.6:f(x)dx与f(x)d