八个有趣模型-搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版)

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'八个有趣模型-搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版)'
*.八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型(三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径,三棱锥与长方体的外接球相同) 方法:找三条两两垂直的线段,直接用公式,即,求出例1 (1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为,体积为,则这个球的表面积是( )A. B. C. D.(2)若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是 (3)在正三棱锥中,分别是棱的中点,且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 。解:引理:正三棱锥的对棱互垂直,证明如下:如图(3)-1,取的中点,连接,交于,连接,则是底面正三角形的中心,平面,,,,,平面,,同理:,,即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图(3)-2, ,,,,平面,,,,,平面,,故三棱锥的三棱条侧棱两两互垂直,,即,外接球的表面积是(4)在四面体中,,则该四面体的外接球的表面积为( ) (5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是 (6)已知某几何体的三视图如图上右所示,三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,则该几何体外接球的体积为 类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1.题设:如图5,平面解题步骤:第一步:将画在小圆面上,为小圆直径的一个端点,作小圆的直 径,连接,则必过球心;第二步:为的外心,所以平面,算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理,得),;第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①;②2.题设:如图6,7,8,的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上,顶点点也是圆锥的顶点 解题步骤:第一步:确定球心的位置,取的外心,则三点共线;第二步:先算出小圆的半径,再算出棱锥的高(也是圆锥的高);第三步:勾股定理:,解出.方法二:小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为 A. B. C. D.以上都不对 类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直) 1.题设:如图9-1,平面平面,且(即为小圆的直径)第一步:易知球心必是的外心,即的外接圆是大圆,先求出小圆的直径;第二步:在中,可根据正弦定理,求出。2.如图9-2,平面平面,且(即为小圆的直径) 3.如图9-3,平面平面,且(即为小圆的直径),且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上,顶点点也是圆锥的顶点解题步骤:第一步:确定球心的位置,取的外心,则三点共线;第二步:先算出小圆的半径,再算出棱锥的高(也是圆锥的高);第三步:勾股定理:,解出4.如图9-3,平面平面,且(即为小圆的直径),且,则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①;②例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为1,底面边长为,则该球的表面积为 。(2)正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为,各顶点都在同一个球面上,则此球的体积为 (3)在三棱锥中,,侧棱与底面所成的角为,则该三棱锥外接球的体积为( ) A.  B.  C. 4  D.(4)已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为(  )A. B. C. D.类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球) 题设:如图10-1,图10-2,图10-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形)第一步:确定球心的位置,是的外心,则平面;第二步:算出小圆的半径,(也是圆柱的高);第三步:勾股定理:,解出例4 (1)一个正六棱柱的底面上正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为,则这个球的体积为 (2)直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若,,则此球的表面积等于 。(3)已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直,,则多面体的外接球的表面积为 。 (4)在直三棱柱中,则直三棱柱的外接球的表面积为 。 类型五、折叠模型题设:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠(如图11)第一步:先画出如图所示的图形,将画在小圆上,找出和的外心和;第二步:过和分别作平面和平面的垂线,两垂线的交点即为球心,连接;第三步:解,算出,在中,勾股定理:例5 三棱锥中,平面平面,△和△均为边长为的正三角形,则三棱锥外接球的半径为 .类型六、对棱相等模型(补形为长方体)题设:三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径(,,)第一步:画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱;第二步:设出长方体的长宽高分别为,,,,列方程组,,补充:第三步:根据墙角模型,,,,求出,例如,正四面体的外接球半径可用此法。例6(1)棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 . (2)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( )A. B. C. D. (3)在三棱锥中,若则三棱锥外接球的表面积为 。 (4)在三棱锥中,则该三棱锥外接球的表面积为 . (5)正四面体的各条棱长都为,则该正面体外接球的体积为 类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型题设:,求三棱锥外接球半径(分析:取公共的斜边的中点,连接,则,为三棱锥外接球球心,然后在中求出半径)例7(1)在矩形中,,,沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积为( )A.
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