高级中学数学,函数定义域,值域求法学习总结

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.\ 函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。(3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx中x≠kπ+π/2;y=cotx中x≠kπ等等。 ( 6 )中x二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。定义域的求法1、直接定义域问题例1 求下列函数的定义域:① ;② ;③ 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式无意义,而时,分式有意义,∴这个函数的定义域是.②∵3x+2<0,即x<-时,根式无意义,而,即时,根式才有意义,∴这个函数的定义域是{|}.③∵当,即且时,根式和分式 同时有意义,∴这个函数的定义域是{|且}另解:要使函数有意义,必须: Þ 例2 求下列函数的定义域:① ②③ ④ ⑤ 解:①要使函数有意义,必须: 即: ∴函数的定义域为: [] ②要使函数有意义,必须: ∴定义域为:{ x|}③要使函数有意义,必须: Þ ∴函数的定义域为:④要使函数有意义,必须: ∴定义域为: ⑤要使函数有意义,必须: 即 x< 或 x> ∴定义域为:2 定义域的逆向问题例3 若函数的定义域是R,求实数a 的取值范围 (定义域的逆向问题)解:∵定义域是R,∴∴练习: 定义域是一切实数,则m的取值范围;3 复合函数定义域的求法例4 若函数的定义域为[-1,1],求函数的定义域解:要使函数有意义,必须:∴函数的定义域为:例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x-1)的定义域。分析:法则f要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x-1上必也要求2x-1在 [-1,1]内取值,即-1≤2x-1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x-1)中2x-1与f(x)中的x位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x-1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。(注意:f(x)中的x与f(2x-1)中的x不是同一个x,即它们意义不同。)解:∵f(x)的定义域为[-1,1],∴-1≤2x-1≤1,解之0≤x≤1,∴f(2x-1)的定义域为[0,1]。例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x2)的定义域。答案:-1≤x2≤1 x2≤1-1≤x≤1 练习:设的定义域是[-3,],求函数的定义域解:要使函数有意义,必须: 得: ∵ ≥0 ∴ ∴ 函数的定域义为:例7 已知f(2x-1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域因为2x-1是R上的单调递增函数,因此由2x-1, x∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。练习:1 已知f(3x-1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。) (提示:定义域是自变量x的取值范围)2 已知f(x2)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域3 若的定义域是,则函数的定义域是 (  )A. B C. D.4 已知函数的定义域为A,函数的定义域为B,则(  )A. B.B C. D. 求值域问题利用常见函数的值域来求(直接法)一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为R;反比例函数的定义域为{x|x0},值域为{y|y0};二次函数的定义域为R,当a>0时,值域为{};当a<0时,值域为{}.例1 求下列函数的值域① y=3x+2(-1x1) ② ③ (记住图像) 解:①∵-1x1,∴-33x3,∴-13x+25,即-1y5,∴值域是[-1,5]②略③ 当x>0,∴=,当x<0时,=-∴值域是[2,+).(此法也称为配方法)函数的图像为:二次函数在区间上的值域(最值):例2 求下列函数的最大值、最小值与值域:①; ②;③; ④; 解:∵,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y-3 }.②∵顶点横坐标2[3,4],当x=3时,y= -2;x=4时,y=1; ∴在[3,4]上,=-2,=1;值域为[-2,1].③∵顶点横坐标2 [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2,∴在[0,1]上,=-2,=1;值域为[-2,1].④∵顶点横坐标2 [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6,∴在[0,1]上,=-3,=6;值域为[-3,6].注:对于二次函数,⑴若定义域为R时, ①当a>0时,则当时,其最小值; ②当a<0时,则当时,其最大值;⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若[a,b],则是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时, 再比较的大小决定函数的最大(小)值. ②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内,只需比较的大小即可决定函数的最大(小)值.注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习:1、求函数y=3+的值域 解:由算术平方根的性质,知≥0,故3+≥3。∴函数的值域为  . 2、求函数 的值域 解: 对称轴 1 单调性法例3 求函数y=4x-(x≤1/3)的值域。设f(x)=4x,g(x)= -,(
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