高级中学数学知识材料清单完整编辑版

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1、.一、集合的含义与表示（1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。（2）元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）。（3）常用数集及其表示符号名称自然数集（非负整数集）正整数集整数集有理数集实数集符号（4）集合的表示法：列举法；描述法；图示法。二、集合间的基本关系表示关系定义记法集合间的基本关系相等集合与集合中的所有元素都相同子集集合中任意一元素都在集合中或真子集集合中任意一元素都在集合中，且集合中至少有一个元素不在集合中空集（没有任何元素的集合）空集是任何集合的子集空集是任何集合的

2、真子集三、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示集合和集合的所有元素，记作集合和集合的共同元素，记作若全集为，集合是的子集，集合除去集合中所有的元素，剩余的所有元素，记作图形表示意义或且且性质(1);(2);(3);(4)(1);(2);(3);(4)(1);(2);(3);(4)(5)知识拓展：设有限集合中元素的个数为，则（1）（1）的子集个数是；（2）的真子集个数是-1；（3）的非空子集个数是-1；（4）的非空真子集个数是-2。.一、不等式的定义用数学符号“、、、、”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系

3、，含有这些不等号的式子，称为不等式。二、不等式的基本性质性质性质内容注意对称性传递性可加性可乘性的符号同向可加性同向同正可乘性可乘方可开方同正三、比较大小的基本方法作差法：理论依据：。基本步骤：（1）作差；（2）变形（方法主要有通分、平方差和公式、因式分解、配方法、分子分母有理化、指数对数的恒等变形）；（3）结论（与0比较）。四、不等式的解法1、一元一次不等式组（）：（1）的解集为；（2）的解集为；（3）的解解为；（4）的解集为2、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式二次函数的图像一元二次方程的根有两个不相等实根有两个相等实根

4、没有实数根的解集或的解集或的解集的解集3、绝对值不等式（1）当时，有或；；.（2）当时，有；；（3）当时，；；（4）当时，有或；.（5）当时，有；。（6）当时，有；。4、分式不等式（1）；（2）（3）（4）一、函数的概念1、定义（1）两个非空的数集、；（2）如果按照某种确定关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应；（3）称为从集合到集合的一个函数，记作。2、函数的定义域、值域（1）定义域：自变量的取值范围；（2）值域：与相对应的取值范围。3、函数的三要素：定义域、值域、对应关系。二、函数的相关结论1、相

5、等函数：定义域相同，并且对应关系相同。2、表示函数的方法：解析法、图像法、列表法。3、分段函数：自变量的取值范围不同，需要不同的对应法则。（1）定义域：各个部分的并集；（2）是一个函数；（3）求，要判断自变量在哪个范围内，在代入相应的表达式。4、求函数定义域的方法：（1）已知函数解析式，求函数定义域，即整式为；分母；偶次根式下；奇次根式为；次幂底；指数为；对数。（2）若已知函数的定义域为，则函数的定义域由求出。（3）若已知函数的定义域为，则函数的定义域为在时的值域。5、求函数解析式的方法（1）待定系数法：若已知的解析式类型，设出

6、它的一般式，根据特殊值，确定相关系数即可；例1、已知是一次函数，且，则的解析式。（2）换元法：设，解出，代入，求的解析式即可；（3）解方程组法：利用已经给出的关系式，构造新的关系式，通过解关于的方程组求出；例2、已知函数，求的解析式。（4）赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出解析式。.例3、已知，对任意的实数都有，求的解析式。一、函数的单调性1、单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数。当时，都有，那么就说函数在区间上是增

7、函数。2、单调区间的定义若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有单调性，区间叫做的单调区间。3、判断（证明）单调性的方法（1）图像法：在区间上，图像呈上升趋势，则函数在区间上是增函数；反之，图像呈下降趋势，则函数在区间上是减函数。（2）利用定义证明函数单调性的步骤：a.任取，且；b.作差；c.变形（通分、因式分解、配方法、分母分子有理化）；d.定号（即判断的正负，和“0”比较）；e.下结论（即指出函数在给定的区间上的单调性）。4、几种初等函数单调性的判断（证明）（1）一次函数解（证明）：在定义域上任取,且，则当时

8、，有即故函数在上是增函数。而当时，有即故函数在上是减函数。（2）二次函数解：单调区间为，,当时，函数在是减函数；在上是增函数；当时，函数在是增函数；在上是减函数证明函数在是减函数；在上是增函数。证明：a.在上任取,且，则.又又即故函数在是减函数。b.在上任取,