数学中的向量与物理中的矢量

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1、数学中的向量与物理中的矢量文/张伟朱晓安学生的学习和思考从生活中的实例和现象开始，这是深度学习的起点之一，学生遇到的任何一个问题都不是孤立的，不同的学科会从不同的角度进行研究，体现出不同学科的特点和本质。学科教学设置了明确的学科边界，经常将学生原本整体的认知割裂开来，穿越学科边界进行设计课程，回归学生对问题本质的理解，通过跨学科的知识解决问题，我们在高中数学“平面向量”的教学中进行了尝试。进行学科穿越的课程设计首先要明确学科间联系的本质。数学是研究空间形式和数量关系的科学，数学对象既有代数的特性，又有几何的特性，平面向量也具备这两种特性，它是近代数学

2、中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在物理中有广泛的应用，有极其丰富的实际背景。物理中的力、速度、加速度、位移都是矢量，在数学学科中抽象成自由向量，矢量和向量都是既有大小又有方向的量，是同一性质的量在不同学科中的描述。有大量的物理问题或现象能够抽象成相应的数学问题，数学问题对应的数学本质研究会促进相应物理问题的坚决。结合高中物理必修1和必修2中的物理问题，总结出数学和物理学科联系的内容（见表1）。表1数学和物理学科联系表物理现象或问题对应的数学问题数学本质的理解物理概念：位移、速度、力向量的概念数学研究自由向量，既有大小

3、又有方向位移的合成、力的合成向量的加法和减法自由向量，三角形法则速度的倍数力的分解、速度的分解数乘向量、平行向量基本定理平面向量基本定理共线向量的基本量及其表示平面内向量的基本量及其表示力的做功正交分解向量的数量积平面向量的坐标及其运算向量与数量向量的代数形式学科穿越的边界在哪里？这需要从学科的界定谈起。物理中的矢量除了有大小和方向要素外，还有作用点，每个矢量有其物理意义，而在数学学科向量只有大小和方向的要素，是在矢量基础上的进一步抽象。实验能力是物理学科的重要能力之一，在高中物理必修1教材中通过实验探究求合力的方法得到矢量求和的平行四边形定则，进而

4、应用这一法则解决问题，运算求解是数学学科的重要能力之一，数学中平面向量的加法运算是借助物理学科的位移求和问题进行定义，然后研究向量加法的符号表示、运算律及其坐标运算，突出运算的特性。不同的学科对同一对象的研究关注点不同，与学科能力的培养有密切关系。学生在遇到问题的时候，需要明确不同学科的边界，又要综合运用不同的学科能力解决问题。物理教师积累的学生测试数据显示：学生对于物理问题，能从实际问题当中抽象模型的占11%，熟练掌握矢量的表示方式与运算方法的占14%，理解并能运用力的运动关系的物理思想的占29%,能对结果进行正确讨论的占17%，从这些数据可以看出

5、，学生将实际的物理问题抽象成数学模型的能力欠缺，应用数学进行运算的意识比较薄弱，在物理学科中只用物理方法来解物理题，在数学学科中只用数学方法来做数学题，孤立的、割裂的学习使得学生在面对实际问题的时候不能综合分析，整体认知，所以在平面向量教学中，我们通过设计尽量来改善这个问题。我们将单元设计的主题选定为：数学中的向量与物理中的矢量。单元目标的设计也突出学科间的穿越，例如：学生通过抽象引体向上运动，分析理解向量的基本概念和基本运算；学生更新已有初中时对功的公式的认识，通过功的背景来理解向量的数量积运算，用函数的思想来研究功与力和位移的关系，探究向量与数量

6、的关系；学习平面向量数量积以后，学生通过功的专题学习来整理总结学习收获等。这些目标的设计从真实的问题出发，结合学生已有的认知水平，需要经历分析问题——抽象概念——探究方法和策略——体会学科思想——解决实际问题的过程，这个过程中既有物理学科的知识和方法，也有数学学科的思想和方法，二者交融在一起。学科穿越的设计要以学生现有的学科认知为基础。平面向量单元的概念较多，核心概念是向量，它的两个要素是大小和方向，需要在向量概念的基础上继续抽象相关的概念。为了整合学生在物理学习中已有的知识和经验，实现数学课的进一步抽象和运算，我们在课程设计的时候设计学生熟悉的物理

7、情境：在单杠上做引体向上，两臂的夹角越小越省力。你能从数学的角度解释这种现象吗？Q1.用图和式表示题目中的量及其关系。、Q2.用什么数学方法解释现象？Q3.问题中的量与数量有什么不同？Q4.向量的定义和表示方法。Q5.举例说明你学习过的向量有哪些？Q6.你能发现问题中的向量之间有哪些关系？Q7.分别从大小和方向两个角度说明问题中特殊的向量有哪些？Q8.如何计算做一次引体向上需要消耗的能量？Q9.物理中的平行四边形法则和数学中向量的加法有什么关系？Q10.平面向量的代数形式是什么？在物理情境的引导下，学生能够自发地提出上述的一些问题。学生提问题的过程就

8、是参与思考、进行数学抽象的过程。与以往的概念和运算学习相比，学生对概念抽象的意义理解更深刻，对概念的本质把握